Autor Tema: Permutaciones circulares

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25 Abril, 2022, 08:08 pm
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petras

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
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Siete empleados de la empresa, dos de los cuales son gerentes, organizaron una reunión para discutir la actualidad
resultados de algunos objetivos corporativos. La reunión estaba prevista en un salón que tiene una mesa circular de siete
lugares donde los empleados deben sentarse. En esta reunión, los dos gerentes deben sentarse separados
para facilitar la comunicación, y otros dos empleados deberán sentarse uno al lado del otro, ya que llevarán a cabo
juntos una breve presentación.
Obedeciendo estas restricciones, ¿de cuántas maneras diferentes pueden sentarse los siete empleados alrededor del
mesa para la celebración de la reunión?(R:144)

Considerando a las dos personas juntas como una (6!/6) * 2! (como se pueden permutar)
Eliminando la posibilidad de que los gerentes estén juntos ´(considerado como un tbm) (5!/5) * 2! (gerentes intercambiando juntos)
Por lo tanto 240-48= 192
¿Dónde está el error?


25 Abril, 2022, 08:44 pm
Respuesta #1

Masacroso

  • “Lo que oigo, lo olvido; lo que veo, lo recuerdo; lo que hago, lo aprendo” (antiguo proverbio chino)
  • Moderador Global
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Siete empleados de la empresa, dos de los cuales son gerentes, organizaron una reunión para discutir la actualidad
resultados de algunos objetivos corporativos. La reunión estaba prevista en un salón que tiene una mesa circular de siete
lugares donde los empleados deben sentarse. En esta reunión, los dos gerentes deben sentarse separados
para facilitar la comunicación, y otros dos empleados deberán sentarse uno al lado del otro, ya que llevarán a cabo
juntos una breve presentación.
Obedeciendo estas restricciones, ¿de cuántas maneras diferentes pueden sentarse los siete empleados alrededor del
mesa para la celebración de la reunión?(R:144)

Considerando a las dos personas juntas como una (6!/6) * 2! (como se pueden permutar)
Eliminando la posibilidad de que los gerentes estén juntos ´(considerado como un tbm) (5!/5) * 2! (gerentes intercambiando juntos)
Por lo tanto 240-48= 192
¿Dónde está el error?



Agrupemos los dos que siempre deben ir sentados juntos como una sola persona, momentáneamente. Entonces es más fácil calcular de cuántas formas distintas se pueden colocar seis personas alrededor de una mesa circular en la que otras dos personas determinadas (los gerentes) siempre se sientan uno junto al otro, esas serían las configuraciones que no nos interesan, las cuales habría que restar a las totales (las totales serían en este contexto las permutaciones circulares de siete personas en las dos empleados siempre se sientan uno junto al otro). Las diferentes permutaciones circulares de \( n \) elementos son \( (n-1)! \), ya que si fuesen permutaciones lineales habría que dividirlas por \( n \) que es el número de permutaciones equivalentes si las consideramos en un círculo.

En nuestro caso el número total de permutaciones circulares distintas de siete objetos, donde un par de ellos siempre se aparecen uno al lado del otro, es \( 2\cdot 5! \), donde el dos es debido a las diferentes formas en las que podemos ordenar los dos objetos que van contiguos.

Si los gerentes se sientan uno al lado del otro entonces, usando el mismo razonamiento de antes, tendríamos que habría \( 2\cdot 2\cdot 4! \) configuraciones posibles. El total buscado es la diferencia, que representa el número total de permutaciones circulares en las que hay dos objetos que siempre van contiguos y otros dos objetos que nunca van contiguos, es decir \( 2\cdot 5!-4\cdot 4!=144 \).

P.D.: he cambiado el título del tema a uno más acorde y lo he movido al subforo correspondiente.

26 Abril, 2022, 01:30 pm
Respuesta #2

petras

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Siete empleados de la empresa, dos de los cuales son gerentes, organizaron una reunión para discutir la actualidad
resultados de algunos objetivos corporativos. La reunión estaba prevista en un salón que tiene una mesa circular de siete
lugares donde los empleados deben sentarse. En esta reunión, los dos gerentes deben sentarse separados
para facilitar la comunicación, y otros dos empleados deberán sentarse uno al lado del otro, ya que llevarán a cabo
juntos una breve presentación.
Obedeciendo estas restricciones, ¿de cuántas maneras diferentes pueden sentarse los siete empleados alrededor del
mesa para la celebración de la reunión?(R:144)

Considerando a las dos personas juntas como una (6!/6) * 2! (como se pueden permutar)
Eliminando la posibilidad de que los gerentes estén juntos ´(considerado como un tbm) (5!/5) * 2! (gerentes intercambiando juntos)
Por lo tanto 240-48= 192
¿Dónde está el error?



Agrupemos los dos que siempre deben ir sentados juntos como una sola persona, momentáneamente. Entonces es más fácil calcular de cuántas formas distintas se pueden colocar seis personas alrededor de una mesa circular en la que otras dos personas determinadas (los gerentes) siempre se sientan uno junto al otro, esas serían las configuraciones que no nos interesan, las cuales habría que restar a las totales (las totales serían en este contexto las permutaciones circulares de siete personas en las dos empleados siempre se sientan uno junto al otro). Las diferentes permutaciones circulares de \( n \) elementos son \( (n-1)! \), ya que si fuesen permutaciones lineales habría que dividirlas por \( n \) que es el número de permutaciones equivalentes si las consideramos en un círculo.

En nuestro caso el número total de permutaciones circulares distintas de siete objetos, donde un par de ellos siempre se aparecen uno al lado del otro, es \( 2\cdot 5! \), donde el dos es debido a las diferentes formas en las que podemos ordenar los dos objetos que van contiguos.

Si los gerentes se sientan uno al lado del otro entonces, usando el mismo razonamiento de antes, tendríamos que habría \( 2\cdot 2\cdot 4! \) configuraciones posibles. El total buscado es la diferencia, que representa el número total de permutaciones circulares en las que hay dos objetos que siempre van contiguos y otros dos objetos que nunca van contiguos, es decir \( 2\cdot 5!-4\cdot 4!=144 \).

P.D.: he cambiado el título del tema a uno más acorde y lo he movido al subforo correspondiente.

perfecto..agradecido
Saludos!