Autor Tema: Criterio de valoración de un modelo ("Lógica Matemática - Carlos Ivorra")

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13 Abril, 2022, 12:59 pm
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Eduen

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Leyendo el libro Lógica matemática del maestro Carlos Ivorra me surgió una duda respecto a la interpretación de una notación.

Definición 1.6
  • Una valoración de un lenguaje formal \( \zeta \) en un modelo \( M \) es un criterio \( v \) que asigna a cada variable \( x \) de \( \zeta \) un objeto \( v(x) \) del universo de \( M \).
  • Si \( v \) es una valoración de un lenguaje formal \( \zeta \) en un modelo \( M \), \( a \) es un elemento del universo \( U \) de \( M \) y \( x \) es una variable de \( \zeta \), llamaremos \( v^{a}_{x} \) a la valoración en \( M \) dada por
    \(
    \begin{matrix}
    v^{a}_{x}(y) = \left\{
      \begin{matrix}
         a &si& y \equiv x \\
         v(y) &si& y \not\equiv x
      \end{matrix}
    \right\}
    \end{matrix}
     \)
  • Llamaremos \( v^{ab}_{xy} \) a \( (v^{a}_{x})^{b}_{y} \), Llamaremos \( v^{abc}_{xyz} \) a \( ((v^{a}_{x})^{b}_{y})^{c}_{z} \), etc.
    Es claro que si \( x \equiv y \) entonces \( v^{ab}_{xy} \) coincide con \( v^{b}_{y} \) mientras que si \( x\not\equiv y \) entonces \( v^{ab}_{xy} \) coincide con \( v^{ba}_{yx} \).

El 1er y 2do enunciado los tengo claro, el problema viene con la interpretación del 3er enunciado. Debido a que la valoración asigna a cada variable del lenguaje un objeto del universo, me queda claro que la expresión  \( v^{ab}_{xy} \) no es una composición, es decir: \( v^{ab}_{xy}(z) \not\equiv v^{b}_{y}(v^{a}_{x}(z)) \)

En su lugar, la interpretación que le estoy dando es la siguiente
\(
\begin{matrix}
v^{ab}_{xy}(z) &=& (v^{a}_{x})^{b}_{y}(z) &=& \left\{
  \begin{matrix}
     b &si& z \equiv y \\
     a &si& z \not\equiv y \; \wedge \; z \equiv x \\
     v(z) &si& z \not\equiv y \; \wedge \; z \not\equiv x
  \end{matrix}
\right\}
\end{matrix}
 \)

Si \( x \equiv y \) entonces:

\(
\begin{matrix}
v^{ab}_{xy}(z) &=& \left\{
  \begin{matrix}
     b &si& z \equiv y \\
     a &si& z \not\equiv y \; \wedge \; z \equiv y \\
     v(z) &si& z \not\equiv y \; \wedge \; z \not\equiv y
  \end{matrix}
\right\} \\\\
&=&\left\{
  \begin{matrix}
     b &si& z \equiv y \\
     v(z) &si& z \not\equiv y
  \end{matrix}
\right\}\\\\
& = & v^{b}_{y}(z)

\end{matrix}
 \)

¿Es mi interpretación correcta? Si no lo es, ¿cómo debería interpretarse?

13 Abril, 2022, 01:25 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Sí, es correcta.

Pero fíjate que no es que haya varias interpretaciones posibles, es que es la única interpretación que tiene si sigues la notación al pie de la letra, ya que, usando las definiciones:
\[
\begin{matrix} v^{ab}_{xy}(z) = (v^a_x)^b_y (z) =  \left\{   \begin{matrix}      b &si& z \equiv y \\      v^a_x(z) &si& z \not\equiv y   \end{matrix} \right\} =  \left\{   \begin{matrix}      b &si& z \equiv y \\      a &si& z \not\equiv y \; \wedge \; z \equiv x \\      v(z) &si& z \not\equiv y \; \wedge \; z \not\equiv x   \end{matrix} \right\} \end{matrix}
 \]
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

13 Abril, 2022, 01:36 pm
Respuesta #2

Eduen

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Dios mío, jamás lo hubiese visto de esa manera por cuenta propia, muchísimas gracias.