Autor Tema: Discutir existencia de soluciones en la ecuación \[a^x=x^a\]

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02 Abril, 2022, 01:12 pm
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Mualfe

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Si me podéis ayudar a resolver este problema os lo agradecería

Discutir, en función del valor de \( a \), la existencia de soluciones de la ecuación \( a^x = x^a \) siendo \( a \) y \( x \) números reales estrictamente positivos.

Moderación: \( \LaTeX \) y ortografía corregidos, y título cambiado por otro más informativo.

02 Abril, 2022, 03:41 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Si me podéis ayudar a resolver este problema os lo agradecería

Discutir, en función del valor de \( a \), la existencia de soluciones de la ecuación \( a^x = x^a \) siendo \( a \) y \( x \) números reales estrictamente positivos.

Moderación: \( \LaTeX \) y ortografía corregidos, y título cambiado por otro más informativo.

Como \( a,x>0 \) entonces puedes tomar logaritmos a ambos lados de la ecuación quedando la ecuación alternativa

\( \displaystyle{
x^a=a^x\iff a\log x=x\log a\iff \log x^{1/x}=\log a^{1/a} \iff x^{1/x}=a^{1/a}
} \)

Por tanto te queda estudiar la forma de la función \( f:(0,\infty )\to \mathbb{R},\, x\mapsto x^{1/x} \) para ver cuántas soluciones puede tener una ecuación de la forma \( f(x)=c \), para cualquier \( c\in \operatorname{img}(f) \). Espero que con lo dicho ya puedas resolverlo.

04 Abril, 2022, 12:19 pm
Respuesta #2

Farifutbol

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Me parece más bonito estudiar la función \( f(x)=\displaystyle\frac{x}{Ln x} \) estudiando los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y su mínimo relativo puedes después comparar valores.

07 Abril, 2022, 10:02 am
Respuesta #3

Mualfe

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Veo mejor la opción de Farifutbol, pero sigo sin ver que soluciones hay en función de \( a \), ¿alguien podría ayudarme?

07 Abril, 2022, 10:37 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Veo mejor la opción de Farifutbol, pero sigo sin ver que soluciones hay en función de \( a \), ¿alguien podría ayudarme?

Tienes que \( a^x=x^a \) equivale a \( xln(a)=aln(x) \) y a su vez a \( ln(x)/x=ln(a)/a \).

Entonces estudiamos la función:

\( f(x)=\dfrac{ln(x)}{x} \)

definida en \( (0,+\infty) \).

Obviamente siempre hay una raíz en \( x=a \).

Si derivas:

\( f'(x)=\dfrac{1-ln(x)}{x} \)

Y la derivada se anula únicamente cuando \( ln(x)=1 \), es decir, cuando \( x=e \). Es positiva en \( (0,e) \) y negativa en \( (e,+\infty) \). Por tanto la función tiene un máximo en \( x=e \).

Resumiendo:

\( \displaystyle\lim_{f(x) \to{+}\infty}{}=0 \)

\( \displaystyle\lim_{f(x) \to 0^+}{}=-\infty<0 \)

\( f(e)=1/e \) MÁXIMO

En \( (-\infty,e) \) crece estrictamente.
En \( (e,+\infty) \) decrece estrictamente.

Queremos analizar el número de soluciones de \( f(x)=f(a) \).

- Si \( f(a)\leq 0 \) (equivalentemente \( a\leq 1 \)) entonces sólo hay una raíz \( x=a \), ya que la función sólo toma valores no positivos en \( (-\infty,1] \) y en ese intervalo es estrictamente creciente.

- Si \( f(a)>0 \) (equivalentemente \( a\leq 1 \)) y \( a\neq e \) entonces la función tiene dos raíces, ya que toma todos los valores en \( 0 \) y el máximo, tanto en el intervalo \( (1,e) \) (en el cual es creciente) como en el \( (e,+\infty) \) en el cuál es decreciente.

- Si \( a=e \), entonces \( f(a) \) es el valor máximo y sólo hay una raíz porque sólo se alcanza en el punto \( f(a) \).

 Visualmente (puedes variar el parámetro \( a \)):


Saludos.

07 Abril, 2022, 02:11 pm
Respuesta #5

Farifutbol

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Es una manía muy tonta, pero a mi me gusta más estudiar \( f(x)=\displaystyle\frac{x}{Ln x} \) que \( f(x)=\displaystyle\frac{lnx}{x} \)
Queda muy elegante.
Cédric Villani contó en una charla en Santiago que con 18-19 años le hicieron la pregunta (creo que en un examen) que demostrase que número era más grande, si \( e^\pi \) o \( \pi^e \) y que lo hizo usando la función  \( f(x)=\displaystyle\frac{lnx}{x} \)

07 Abril, 2022, 05:42 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Es una manía muy tonta, pero a mi me gusta más estudiar \( f(x)=\displaystyle\frac{x}{Ln x} \) que \( f(x)=\displaystyle\frac{lnx}{x} \)

Si tomas \( f(x)=\displaystyle\frac{x}{Ln x} \), entonces la función no está definida en \( x=0 \). No es dramático, en cuanto que uno puede gestionar ese hecho y llegar a las conclusiones que se buscan. Pero es un pequeño inconveniente.

Además, y esto ya tómalo como manía si quieres, en principio me resulta más manejable tener una \( x \) que otra función. Por ejemplo si en algún momento hubiera que recurrir a aproximaciones de Taylor, ese denominador \( x \) facilita las cosas; también, a priori, la \( x \) en el denominador complicaría menos la expresión de futuras derivadas sucesivas.

Saludos.