Autor Tema: Vértices de un hexágono en el plano complejo

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04 Abril, 2022, 12:15 pm
Respuesta #10

Farifutbol

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Hola gracias por la respuesta, ya ves se me hace dificil comprenderla de buenas a primeras, me gustaría me confirmes si el punto donde rota el hexágono es Z1 o Z0 yo entiendo que es Z1 pues tiene sus coordenadas en el origen.

El punto sobre el que rota el hexágono, para transformarlo en el nuevo hexágono, es el cero, que coincide con \( z_1 \).

Puedes rotar respecto al centro del hexagono (2+3i) 60º el vector \( \vec{CZ_4} \). O aprovechando que el ángulo inscrito en la circunferencia es la mitad que el ángulo central, girar el vector \( \vec{z_1z_4}  \) 30º.
Si giras respecto al centro, después de rotar tienes que sumarle las coordenadas del centro para calcular cada vértice correspondiente.

07 Abril, 2022, 12:54 pm
Respuesta #11

Mualfe

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
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Muchas gracias por vuestras respuestas, pero como no domino el tema me cuesta un poco.....me podriais decir que valores tienen los complejos para poder comprobarlos con los mios? me dan números un poco raros y no estoy segura de tenerlos bien.
Muchas gracias a todos

07 Abril, 2022, 01:21 pm
Respuesta #12

Mualfe

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Y lo que no me ha quedado claro es el apartado b, alguien podria ayudarme? Sería multiplicar los complejos de antes por (1/2)e^(pi/6)i
Perdonarme pero no se usar latex, disculparme
Muchas gracias a todos

07 Abril, 2022, 04:12 pm
Respuesta #13

Masacroso

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Y lo que no me ha quedado claro es el apartado b, alguien podria ayudarme? Sería multiplicar los complejos de antes por (1/2)e^(pi/6)i
Perdonarme pero no se usar latex, disculparme
Muchas gracias a todos

Sobre lo del \( \LaTeX \), para aprender a usarlo, mira aquí. Sobre el aparatado b), la homotecia es multiplicar por \( 1/2 \) (mira aquí para ver la definición de homotecia) pero previamente a aplicar la homotecia giramos los puntos respecto al origen \( \pi/6 \) radianes, lo que equivale a multiplicar por \( e^{i\pi /6} \).

07 Abril, 2022, 06:08 pm
Respuesta #14

Luis Fuentes

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Hola

Muchas gracias por vuestras respuestas, pero como no domino el tema me cuesta un poco.....me podriais decir que valores tienen los complejos para poder comprobarlos con los mios? me dan números un poco raros y no estoy segura de tenerlos bien.
Muchas gracias a todos

Dado que \( z_1 \) y \( z_4 \) son vértices opuestos del hexágono su punto medio es el centro del mismo:

\( z_0=\dfrac{z_1+z_4}{2}=2+3i \)

Ahora para hallar los vértice puedes utilizar la expresión indicada por Masacroso:

\( z_k=(z_1-z_0)e^{i 2(k-1)\pi/6}+z_0=(2+3i)-(2+3i)e^{i (k-1)\pi/3} \)

Queda:

\( z_1=(2+3i)-(2+3i)=0 \)
\( z_2=(2+3)-(2+3i)(cos(\pi(3)+sin(\pi/3)i)=(2+3i)-(2+3i)(1/2+i\sqrt{3}/2)=\ldots=\left(1+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\dfrac{3}{2}-\sqrt{3}\right)i \)
\( z_3=(2+3)-(2+3i)(cos(2\pi(3)+sin(2\pi/3)i)=(2+3i)-(2+3i)(-1/2+i\sqrt{3}/2)=\ldots=\left(3+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\dfrac{9}{2}-\sqrt{3}\right)i \)

\( z_5=\left(3-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\dfrac{9}{2}+\sqrt{3}\right)i \)
\( z_6=\left(1-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\dfrac{3}{2}+\sqrt{3}\right)i \)

Ahora girar \( \pi/6 \) es multiplicar por \( e^{\pi/6} \).

Una homotecia de centro \( c \) y razón \( k \) es aplicar:

\( f(z)=c+l(c-z) \)

En tu caso como el centro es cero, simplemente multiplicar por \( 1/2 \).

Así que para aplicar el giro y la homotecia a cada punto del hexágono sólo has de multiplicarlos por \( e^{\pi/6}/2 \).

 Visualmente:


Saludos.