Autor Tema: Triángulo equilatero en lugar geométrico

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14 Marzo, 2022, 08:14 pm
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Farifutbol

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Dada la hipérbola \( x\cdot y=m^2 \) se construye una circunferencia con centro en un punto de ella y que pasa por su simétrico.
Demostrar que que el triángulo formado por los otros 3 puntos de corte entre la hipérbola y la circunferencia son los vértices de un triángulo equilátero.

15 Marzo, 2022, 10:56 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Dada la hipérbola \( x\cdot y=m^2 \) se construye una circunferencia con centro en un punto de ella y que pasa por su simétrico.
Demostrar que que el triángulo formado por los otros 3 puntos de corte entre la hipérbola y la circunferencia son los vértices de un triángulo equilátero.

Mira por aquí:

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/OrthoRectangular.html#:~:text=Generating%20equilaterals,hyperbola%20make%20an%20equilateral%20triangle.

Saludos.

15 Marzo, 2022, 05:17 pm
Respuesta #2

hméndez

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Dada la hipérbola \( x\cdot y=m^2 \) se construye una circunferencia con centro en un punto de ella y que pasa por su simétrico.
Demostrar que que el triángulo formado por los otros 3 puntos de corte entre la hipérbola y la circunferencia son los vértices de un triángulo equilátero.

Una solución analítica:
Sea (a, b) un punto de la hipérbola y centro de la circunferencia, por tanto su simétrico respecto al origen es (-a, -b) que es punto de intersección
de las dos curvas de acuerdo al enunciado.

Una ecuación de la circunferencia es:

\( (x-a)^2+(y-b)^2=4(a^2+b^2) \)

O en forma equivalente:

\( (x-a)^2-4a^2+(y-b)^2-4b^2=0 \)

\( (x+a)(x-3a)+(y+b)(y-3b)=0 \) (*)

Combinando esta última con la ecuación de la hipérbola \( xy=m^2 \) :

\( (x+a)(x-3a)+(\displaystyle\frac{m^2}{x}+\displaystyle\frac{m^2}{a})(\displaystyle\frac{m^2}{x}-3\displaystyle\frac{m^2}{a})=0 \)

\( (ax)^2(x+a)(x-3a)+m^4(x+a)(a-3x)=0 \)

Para \( x\neq -a  \) podemos simplificar por \( (x+a) \) y la ecuación se reduce a:

\( (ax)^2(x-3a)+m^4(a-3x)=0 \)

\( x^3-3ax^2-3\displaystyle\frac{m^4}{a^2}x+\displaystyle\frac{m^4}{a}=0 \)

cuyas soluciones corresponden a las abscisas de los puntos de intersección de la circunferencia y la hipérbola a excepción del punto
(-a,-b) y que son pues vértices de un triangulo.

Del mismo modo se puede proceder para encontrar una cúbica que relacione las ordenadas de los vértices del triangulo, solo hay que poner (*)
en términos de y y b. Dada la simetría respecto a x y y, a y b debemos tener:

\( y^3-3by^2-3\displaystyle\frac{m^4}{b^2}y+\displaystyle\frac{m^4}{b}=0 \)

De estas dos últimas ecuaciones por las relaciones de Cardano Vieta se tiene que: la suma de las abscisas y las ordenadas de los vértices del
triangulo son respectivamente 3a y 3b por tanto las coordenadas del baricentro son (a, b) y este punto coincide con el circuncentro del triangulo llegándose
a la conclusión que el triángulo es equilátero.

Saludos.

16 Marzo, 2022, 08:55 am
Respuesta #3

Farifutbol

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Citar
De estas dos últimas ecuaciones por las relaciones de Cardano Vieta se tiene que: la suma de las abscisas y las ordenadas de los vértices del
triangulo son respectivamente 3a y 3b por tanto las coordenadas del baricentro son (a, b) y este punto coincide con el circuncentro del triangulo llegándose
a la conclusión que el triángulo es equilátero.

Saludos.

Muy buenas las 2 respuestas, pero una duda. Si coinciden el baricentro y el circuncentro, ¿eso garantiza que el triángulo es equilátero?

16 Marzo, 2022, 09:58 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Muy buenas las 2 respuestas, pero una duda. Si coinciden el baricentro y el circuncentro, ¿eso garantiza que el triángulo es equilátero?

En ese caso las medianas coinciden con las mediatrices. Eso quiere decir que las medianas que unen el vértice con el punto medio del lado opuesto son perpendiculares a este y por tanto dividen al triángulo en dos triángulos rectángulos congruentes; por tanto las hipotenusas de ambos que corresponden a dos lados del triángulo original son iguales.

Saludos.