Autor Tema: Problema de conteo: permutaciones con repetición

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20 Febrero, 2022, 03:51 pm
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.tank

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Hola tengo un problema de conteo y me gustaría si pueden explicarme la resolución
Se plantaran en línea recta 12 arboles, de los cuales 4 son pinos, 3 robles y 5 eucaliptos. ¿De cuántas maneras se pueden plantar si se requiere que los pinos queden juntos?

Desde ya muchas gracias

20 Febrero, 2022, 04:53 pm
Respuesta #1

feriva

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Hola tengo un problema de conteo y me gustaría si pueden explicarme la resolución
Se plantaran en línea recta 12 arboles, de los cuales 4 son pinos, 3 robles y 5 eucaliptos. ¿De cuántas maneras se pueden plantar si se requiere que los pinos queden juntos?

Desde ya muchas gracias

Hola.

Considera los lugares de la fila como elementos, 1º, 2º,...12º. Entonces tienes 4 pinos, y puedes poner, por ejemplo, un pino en 1º, otro en 6º, otro en 7º y otro en 12º, esto haría la combinación 1,6,7,12; o escrita de cualquier otra manera es lo mismo, porque son lugares ocupados con pinos indistinguibles 6,1,12,7... Es decir, tienes combinaciones sin repetición de 12 elementos distintos tomados de cuatro en cuatro.

Cuando ya tienes todas esas combinaciones (que se van a multiplicar después por las otras) haces lo mismo con los robles. Te quedan en cada combinación anterior 12-4= 8 sitios vacíos (los que sean, los puedes renumerar 1,2,3...8) que hacen una vez más de elementos, mientras que tienes 3 robles; son combinaciones de 8 elementos tomados de tres en tres. Y, cuando las tienes, las multiplicas por las anteriores.

Finalmente te quedan 5 cinco sitios para 5 eucaliptos, por tanto, esto no añade nada, rellena los huecos, pero no añade ninguna combinación más.

*Sería así si no me he equivocado; que es más que posible, así que piénsalo tú despacio a ver si tengo razón. Mira a ver si funciona con un ejemplo con menos árboles y menos clases de árboles.

Saludos.

20 Febrero, 2022, 05:55 pm
Respuesta #2

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
El tema cambia si podemos distinguir a cada árbol de cada especie 

si no los distinguimos que creo es es el objetivo del ejercicio .


los 5 eucaliptos y 3 robles se pueden ordenar de N maneras

\( N=\binom{3+5}{3}=\binom{3+5}{5}=\dfrac{(3+5)!}{3!5!}=\dfrac{40320}{6\cdot 120}=56 \)

y si los 4 pinos van juntos ocupan solo un espacio entremedio de los otros arboles , y si hay \( m \) arboles hay \( m+1 \) posiciones donde poner un arbol adicional como m=3+5=8 entonces hay 9 formas de colocar los 4 pinos por cada una de las 56 formas de ordenar robles y eucaliptos por lo que te quedan
\( C=9\cdot 56=504 \) formas diferentes de ponerlos

y si los distingues debes multiplicar este numero por las variaciones de cada uno de los otros  arboles para los robles son 6 y para los eucaliptos 120

\( C_2=504\cdot 6\cdot120=362880 \)

y si distingues entre las formas posibles de los pinos que son 24 tendrás todas las variaciones posibles

\( C_3=362880\cdot24=8709120 \)


Claro si no metí la pata en algo.

Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

22 Febrero, 2022, 04:05 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Hola tengo un problema de conteo y me gustaría si pueden explicarme la resolución
Se plantaran en línea recta 12 arboles, de los cuales 4 son pinos, 3 robles y 5 eucaliptos. ¿De cuántas maneras se pueden plantar si se requiere que los pinos queden juntos?

Es directamente un problema de permutaciones con repetición: formas de ordenar unos elementos cada uno de los cuales se repite un número prefijado de veces:

\( PR_{12;4,3,5}=\dfrac{12!}{3!4!5|}=27720 \)

Coincide con la solución dada por feriva.

los 5 eucaliptos y 3 robles se pueden ordenar de N maneras

\( N=\binom{3+5}{3}=\binom{3+5}{5}=\dfrac{(3+5)!}{3!5!}=\dfrac{40320}{6\cdot 120}=56 \)

y si los 4 pinos van juntos ocupan solo un espacio entremedio de los otros arboles , y si hay \( m \) arboles hay \( m+1 \) posiciones donde poner un arbol adicional como m=3+5=8 entonces hay 9 formas de colocar los 4 pinos por cada una de las 56 formas de ordenar robles y eucaliptos por lo que te quedan
\( C=9\cdot 56=504 \) formas diferentes de ponerlos

y si los distingues debes multiplicar este numero por las variaciones de cada uno de los otros  arboles para los robles son 6 y para los eucaliptos 120

\( C_2=504\cdot 6\cdot120=362880 \)

y si distingues entre las formas posibles de los pinos que son 24 tendrás todas las variaciones posibles

\( C_3=362880\cdot24=8709120 \)

No acabo de entender el razonamiento:

- Si no distingues entre árboles de la misma especie es como dije arriba:

\( PR_{12;4,3,5}=\dfrac{12!}{3!4!5|}=27720 \)

- Si todos los árboles son distintos son simplemente las formas de ordenar \( 12 \) elementos distintos. Permutaciones: \( 12!=479001600 \).

Saludos.

OJO. Aquí no tuve en cuenta que los cuatro pinos han de ir juntos.

22 Febrero, 2022, 05:50 pm
Respuesta #4

feriva

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Coincide con la solución dada por feriva.


Muchas gracias por confirmarlo, Luis (que cuando no estás por aquí ando como un equilibrista sin red).

Saludos.

22 Febrero, 2022, 06:04 pm
Respuesta #5

Richard R Richard

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- Si no distingues entre árboles de la misma especie es como dije arriba:

\( PR_{12;4,3,5}=\dfrac{12!}{3!4!5|}=27720 \)

- Si todos los árboles son distintos son simplemente las formas de ordenar \( 12 \) elementos distintos. Permutaciones: \( 12!=479001600 \).

Saludos.


Hola Luis ¿en ese calculo estas considerando que los 4 pinos tienen posiciones consecutivas?, eso es lo que entiendo por  "van juntos"...


de los 12 arboles puedo combinar solo 8, y si no los distingo mi forma de hacer el calculo coincide con la tuya  \( \dfrac{8!}{3!5!} \) luego entre esos  8 elementos hay 9 formas de poner los 4 pinos juntos ...


Otra forma no lo veo


Saludos
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

22 Febrero, 2022, 06:39 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Hola Luis ¿en ese calculo estas considerando que los 4 pinos tienen posiciones consecutivas?, eso es lo que entiendo por  "van juntos"...


de los 12 arboles puedo combinar solo 8, y si no los distingo mi forma de hacer el calculo coincide con la tuya  \( \dfrac{8!}{3!5!} \) luego entre esos  8 elementos hay 9 formas de poner los 4 pinos juntos ...

 Si, no me había fijado en que tiene que ir todos los pinos juntos.

 Entonces si no se distingue entre los árboles de la misma especie, el bloque formado por los pinos cuenta como un sólo árbol. Serían:

\( PR_{9;3,5,1}=\dfrac{9!}{3!5!1!}=504 \)

 Si todos los árboles son distintos multiplicamos lo anterior por las formas de permutar cada una de las tres especies:

\( 504\cdot 3!\cdot 5!\cdot 4!=9!\cdot 4!=8709120 \)

 ¡Si concuerda con tu solución!. Disculpa.

Saludos.