Autor Tema: LVIII Olimpiada Matemática Española 2022 (mañana) Ej2.

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23 Enero, 2022, 10:11 pm
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Ignacio Larrosa

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Problema 2. Sea ABC un triángulo isósceles con \( \angle BAC=100^\circ{} \). La bisectriz del ángulo \( \angle CBA \) corta al lado \( AC \) en el punto \( D \).
Demostrar que \( BD+DA=BC \).

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

24 Enero, 2022, 10:34 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Una forma:



Spoiler
En el triángulo \( ADB \) por el Teorema de los Senos:

\( BD=\dfrac{AB\cdot sin(100^o)}{sin(60^o)},\quad AD=\dfrac{AB\cdot sin(20^o)}{sin(60^o)} \)

y en el triángulo \( ABC \) por el Teorema de los Senos:

\( BC=\dfrac{AB\cdot sin(100^o)}{sin(40^o)} \)

Por tanto \( BD+AD=BC \) equivale a:

\( sin(100^o)sin(40^o)+sin(40^o)sin(20^o)=sin(100^o)sin(60^o) \) (*)

Usando la identidad \( sin(x)sin(y)=\dfrac{1}{2}(cos(x-y)-cos(x+y)) \), (*) equivale a:

\( cos(60^o)-cos(140^o)+cos(20^o)-cos(60^o)=cos(40^o)-cos(160^o) \)

\( cos(20^o)-cos(140^o)=cos(40^o)-cos(160^o) \)

Pero como \( cos(x)=cos(180^o-x) \) efectivamente se da la igualdad.
[cerrar]

Saludos.

24 Enero, 2022, 02:23 pm
Respuesta #2

Samir M.

  • Physicsguy.
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Hola

Una forma:

Spoiler
En el triángulo \( ADB \) por el Teorema de los Senos:

\( BD=\dfrac{AB\cdot sin(100^o)}{sin(60^o)},\quad AD=\dfrac{AB\cdot sin(20^o)}{sin(60^o)} \)

y en el triángulo \( ABC \) por el Teorema de los Senos:

\( BC=\dfrac{AB\cdot sin(100^o)}{sin(40^o)} \)

Por tanto \( BD+AD=BC \) equivale a:

\( sin(100^o)sin(40^o)+sin(40^o)sin(20^o)=sin(100^o)sin(60^o) \) (*)

Usando la identidad \( sin(x)sin(y)=\dfrac{1}{2}(cos(x-y)-cos(x+y)) \), (*) equivale a:

\( cos(60^o)-cos(140^o)+cos(20^o)-cos(60^o)=cos(40^o)-cos(160^o) \)

\( cos(20^o)-cos(140^o)=cos(40^o)-cos(160^o) \)

Pero como \( cos(x)=cos(180^o-x) \) efectivamente se da la igualdad.
[cerrar]

Saludos.

Bonito y sencillo. Con problemas como este se le coge el gusto a la geometría.
\[  e^{H_n}=\prod_{k=1}^n e^{1/k}\gt\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{k}\right)=n+1 \therefore H_n\gt\log(n+1) \]

25 Enero, 2022, 09:46 am
Respuesta #3

Ignacio Larrosa

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Una solución sin trigonometría:



Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

25 Enero, 2022, 10:20 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Una solución sin trigonometría:



 :aplauso: :aplauso:

Mira que le di vueltas para una prueba de ese estilo. El punto clave del que no fui capaz de ver es que \( D \) es el incentro del triángulo \( BDF. \)

Saludos.

25 Enero, 2022, 10:42 am
Respuesta #5

sugata

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