Autor Tema: LVIII Olimpiada Matemática Española 2022 (mañana) Ej1.

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23 Enero, 2022, 09:51 pm
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Ignacio Larrosa

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Este año las pruebas de la OME consistieron en la resolución de 4 problemas en una única sesión de 4 horas. Pero hubo al menos dos sesiones, en la mañana y tarde del viernes 21/01/2022, con dos conjuntos de ejercicios naturalmente distintos. En Galicia se celebró por la tarde, que son los problemas que se han presentado aqui.  Pongo ahora, uno en cada tema, los correspondientes a la sesión de la mañana:

Problema 1. Un número n  de 7 cifras  es bonito si se puede expresar como la suma de dos números de siete cifras s y t, tales que todas las cifras de s son impares y todas las cifras de t son pares.
Determinar cuales de los siguientes números son bonitos:
6204773, 6372538, 7343053, 8993267, 9652393,

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

23 Enero, 2022, 10:41 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Un camino.

Spoiler
Si no me equivoco son bonitos todos aquellos que no acaban en par y tales que a la derecha de una cifra par no hay un \( 9 \) y ala izquierda de un \( 0 \) no hay impar. Explico el porqué particularizado a los números concretos que fallan entre los dados. Son bonitos:

\(  6204733=2646822+3557951 \)
\(  9652393=4280672+5371711 \)

 No lo son:

\( 6372538 \) porque es imposible que una cifra de unidades par y otra impar sumen un número par.

\( 734\color{red}30\color{black}53 \) porque para sumar cero en las centenas necesariamente la de las cifras correspondientes tienen que dar \( 10 \) o más, por tanto nos "llevamos una" a la cifra de los millares y par más impar más uno no puede dar impar (cifra \( 3 \)).

\( \color{red}89\color{black}93267 \) porque para sumar 8 (par) en las unidades de millón, con un par más un impar necesitamos "llevarnos una" de la suma anterior. Pero el resultado de la cifra anterior es 9, eso quiere decir que la suma debería de ser \( 19 \) y cifra par más cifra impar (más una posible "llevada") como máximo suma \( 18 \).
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Saludos.

23 Enero, 2022, 10:53 pm
Respuesta #2

geómetracat

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Una forma:
Spoiler
En general, como la suma de un número par con otro impar (ambos de una cifra) son números impares entre \[ 1 \] y \[ 17 \], se tiene que todo número bonito debe cumplir:
1) Su última cifra es impar.
2) Si una cifra es \[ 0 \], la inmediatamente anterior es par (porque la única manera de conseguir un \[ 0 \] es que las cifras par e impar correspondiente sumen \[ 9 \] y nos estemos llevando \[ 1 \] para obtener un \[ 10 \]).
3) Si una cifra que no sea la primera es \[ 9 \] la anterior no puede ser par (porque una cifra par y otra impar no pueden sumar \[ 19 \]).
4) La primera cifra no puede ser ni \[ 1 \] ni \[ 2 \] (pues en este caso una de las cifras a sumar debería ser un \[ 0 \] y el número par no tendría siete cifras).

Y recíprocamente, si un número \[ n \] de siete cifras cumple estas condiciones es bonito. Basta con ir eligiendo de derecha a izquierda un número par y otro impar que sumen hasta la cifra de \[ n \] si la anterior cifra de \[ n \] es impar, o que sumen la cifra de \[ n \] más \[ 10 \] si la anterior cifra es par.

Atendiendo a estos criterios, los únicos números bonitos de los propuestos son \[ 62044773 \] y \[ 9652393 \].
[cerrar]

PD: Se adelantó Luis.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)