Autor Tema: LVIII Olimpiada Galicia 2022. Ej3.

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23 Enero, 2022, 11:29 am
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Luis Fuentes

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Determinar todas las ternas de números reales \( (a,b,c) \) que satisfagan:

\( a+b+c=3 \)

\( 2^a+2^b+2^c=7 \)

\( 2^{-a}+2^{-b}=\dfrac{3}{4} \)

23 Enero, 2022, 03:47 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Una vía (espero no haberme equivocado en los cálculos):
Spoiler
La última ecuación se puede reescribir como \[ \frac{2^a+2^b}{2^{a+b}} = \frac{3}{4} \]. Usando las dos primeras, tenemos \[ \frac{7-2^c}{2^{3-c}} = \frac{3}{4} \], o equivalentemente, \[ 7\cdot 2^c - (2^c)^2 =6 \], que lleva a la ecuación de segundo grado para \[ 2^c \]: \[ (2^c)^2-7\cdot 2^c + 6 = 0 \]. Esta ecuación tiene como soluciones  \[ 2^c = 1 \] y \[ 2^c = 6 \], de donde \[ c=0 \] o \[ c = \log_2(6) \]. Estudiamos ahora cada caso por separado.

Caso \[ c=0 \]:
Si \[ c=0 \], las dos primeras ecuaciones quedan \[ a+b=3 \], \( 2^a+2^b = 6 \). De la primera \[ b=3-a \] y sustituyendo en la segunda, \[ 2^a + 8\cdot 2^{-a} = 6 \]. Esto de nuevo nos lleva a una ecuación de segundo grado para \[ 2^a \]: \[ (2^a)^2-6\cdot 2^a+8=0 \], con soluciones \[ 2^a=2 \] y \[ 2^a=4 \]. Por tanto, obtenemos dos ternas soluciones del sistema original: \[ (1, 2, 0) \] y \[ (2, 1, 0) \].

Caso \[ c=\log_2(6) \]:
En este caso la segunda ecuación queda \[ 2^a+2^b = 1 \]. De la primera, tenemos \[ b = 3-\log_2(6)-a \], y sustituyendo, \[ 2^a + 8\cdot \frac{1}{6} 2^{-a} = 1 \]. Esto de nuevo conduce a una ecuación de segundo grado para \[ 2^a \]: \[ 3(2^a)^2-3 \cdot 2^a+4=0 \], que no tiene soluciones reales. Por tanto, no hay ternas que cumplan el sistema con \[ c=\log_2(6) \].

Así pues, las únicas ternas que cumplen lo pedido son \[ (1,2,0) \] y \[ (2,1,0) \].
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La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Enero, 2022, 07:27 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 Este en el fondo son cuentas... yo las había enfocado así.

Spoiler
Haciendo el cambio \( x=2^a \) e \( y=2^b \) y sustituyendo la primera ecuación en la segunda queda:

\(  x+y+\dfrac{8}{xy}=7 \) (*)

\(  \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{4}\quad \Leftrightarrow{}\quad x+y=\dfrac{3}{4}xy \) (**)

 Sustituyendo en (*):

\(  \dfrac{3}{4}xy+\dfrac{8}{xy}=7 \)

 Tomando \( z=xy \), queda una ecuación de segundo grado:

\(  3z^2-28z+32=0 \)
 
 de donde \( xy=z=8 \) ó \( xy=z=4/3 \). Combinado con (**) quedan dos opciones:

\( x+y=6 \)
\( xy=8 \)

 y resolviendo \( (x,y)=(4,2) \) ó \( (2,4) \). Que equivale a \( (a,b,c)=(2,1,0) \) ó \( (1,2,0) \).

 O:

\( x+y=1 \)
\( xy=4/3 \)

 que no tiene soluciones reales.
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Saludos.