Autor Tema: LVIII Olimpiada Galicia 2022. Ej1.

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23 Enero, 2022, 11:28 am
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Luis Fuentes

  • el_manco
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En una fila hay \( 2022 \) personas. Cada una de ellas o siempre miente o siempre dice la verdad. Todas ellas afirman: "hay más personas a mi izquierda que mienten que a mi derecha que digan la verdad". Determinar cuántas de estas personas mienten.

23 Enero, 2022, 02:25 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Spoiler
La primera persona de la fila (más a la izquierda) necesariamente miente, pues es imposible que haya más personas a su izquierda que mienten que a su derecha que digan la verdad. De manera similar, la última persona (más a la derecha) dice la verdad.
Sea \[ k \] la posición de la primera persona que dice la verdad, de forma que las \[ k-1 \] personas a su izquierda mienten.
Afirmo que todas las personas a la derecha de \[ k \] dicen la verdad. Si no fuera así, sea \[ j>k \] la posición de la primera persona a la derecha de \[ k \] que miente. Sea \[ n(i) \] el número de personas a la derecha de \[ i \] que dicen la verdad. Como \[ k \] dice la verdad, \[ k-1>n(k) \]. Por otro lado, es claro que \[ n(j) \leq n(k) \]. Como la persona en la posición \[ j \] miente, debemos tener \[ k-1\leq n(j) \] (pues por la elección de \[ j \] hay \[ k-1 \] personas a la izquierda de \[ j \] que mienten). Pero entonces, \[ k-1 \leq n(j)\leq n(k) \], contradicción.
Por tanto, existe una posición \[ k \] tal que toda persona en una posición menor que \[ k \] miente y toda persona en una posición mayor o igual que \[ k \] dice la verdad. Una vez tenemos esto, es inmediato ver que debe ser \[ k=1012 \].
Así pues, los \[ 1011 \] primeros mienten y los \[ 1011 \] últimos dicen la verdad.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Enero, 2022, 06:36 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Yo lo había pensado así:

Spoiler
Es claro que el primero por la izquierda dice mentira, ya que no hay nadie a su izquierda y por tanto no puede ser superior los que mienten a su izquierda que nada. Y el último de la derecha dice la verdad, porque a su derecha no hay nada y a su izquierda al menos un mentiroso.

 Probaremos por inducción que si \( k\leq 1011 \) entonces los \( k \) primeros de la izquierda mienten y los \( k \) últimos de la derecha dicen la verdad:

 - Para \( k=1 \) lo acabamos de ver.
 - Suponemos cierto para \( k-1 \) y lo probamos para \( k \). El \( k \)-ésimo por la izquierda tiene a su izquierda exactamente  \( k-1 \) mentirosos  y a su derecha al menos \( k-1 \) veraces (por hipótesis de inducción), por tanto es falso si dice: "hay más personas a mi izquierda que mienten que a mi derecha que digan la verdad". Miente. El \( k \)-ésimo por la derecha tiene al menos \( k \) mentirosos a la izquierda (lo acabamos de ver) y excatamente \( k-1 \) veraces a su derecha. Por tanto para él la afirmación es verdadera.

 Por tanto los \( 1011 \) de la izquierda mienten y los \( 1011 \) de la derecha dicen la verdad.
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Saludos.