Autor Tema: LVIII Olimpiada Galicia 2022. Ej2.

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22 Enero, 2022, 03:14 pm
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Luis Fuentes

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Sea \( ABCD \) un cuadrilátero convexo y sea \( P \) un punto en el interior. Se tiene que:

Área\( (PAB)\cdot  \)Área\( (PCD)= \)Área\( (PBC)\cdot \)Área\( (PDA) \),

demostrar que \( P \) está en el segmento \( AC \) o en el segmento \( BD \).


22 Enero, 2022, 03:25 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Un camino:

Spoiler
Usando que el área de un triángulo de lados \( p,q \) y ángulo comprendido \( \alpha \) es \( \dfrac{1}{2}pq\sin(\alpha) \) se tiene que:


Área\( (PAB)=\dfrac{1}{2}AP\cdot BP\cdot \sin(t) \)

Área\( (PCD)=\dfrac{1}{2}CP\cdot DP\cdot \sin(y) \)

Área\( (PBC)=\dfrac{1}{2}BP\cdot CP\cdot \sin(x) \)

Área\( (PAD)=\dfrac{1}{2}AP\cdot DP\cdot \sin(z) \)

 Entonces la igualdad:

Área\( (PAB)\cdot  \)Área\( (PCD)= \)Área\( (PBC)\cdot \)Área\( (PDA) \),

queda:

\( sin(y)sin(t)=sin(x)sin(z) \)

Usando la identidad \( sin(u)sin(v)=\dfrac{cos(u-v)-cos(u+v)}{2} \) equivale a:

\( cos(y-t)-cos(y+t)=cos(x-z)-cos(x+z) \)

Como \( y+t+x+z=2\pi \) entonces \( cos(y+t)=cos(x+z \)) y la igualdad se simplifica a:

\( cos(y-t)=cos(x-z) \)

De donde:

- o bien \( y-t=x-z \), es decir, \( y+z=x+t \). Como \( y+z+x+t=2\pi \) entonces \( y+z=x+t=\pi \) y así \( P\in \overline{AC}. \)

- o bien \( y-t=-(x-z) \), es decir, \( y+x=z+t \). Como \( y+z+x+t=2\pi \) entonces \( y+x=z+t=\pi \) y así \( P\in \overline{BD}. \)
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Saludos.