La función no tiene simetrías respecto de los ejes. Es periódica de periodo \( 2\pi \), por tanto bastará analizar su comportamiento en el intervalo \( [0,2\pi]. \) Su derivada es
\( f^\prime (x)=\ldots=3\sin x\cos x(\sin x-\cos x) \)
La derivada se anula en los casos
\( \sin x=0\Leftrightarrow x=0 \vee x=\pi\vee x=2\pi, \)
\( \cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2} \vee x=\dfrac{3\pi}{2}, \)
\( \sin x=\cos x\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4} \vee x=\dfrac{5\pi}{4}. \)
Analizamos crecimiento y decrecimiento:
\( x\in (0,\pi/4)\Rightarrow f^\prime (x)=+\cdot +\cdot +\cdot -=- \) (dec.),
\( x\in (\pi/4,\pi/2)\Rightarrow f^\prime (x)=+\cdot +\cdot +\cdot +=+ \) (crec.),
\( \ldots \)
\( x\in (3\pi/2,2\pi)\Rightarrow f^\prime (x)=+\cdot -\cdot +\cdot -=+ \) (crec.).
El análisis anterior permite establecer los extremos:
En \( (0,1) \) (máximo global),
En \( (\pi/4,1/\sqrt{2}) \) (mìnimo local),
En \( (\pi/2,1) \) (máximo global),
En \( (\pi,-1) \) (mínimo global),
En \( (\pi,-1) \) (mínimo global),
En \( (5\pi/4,-1/\sqrt{2}) \) (máximo local),
En \( (3\pi/2,-1) \) (mínimo global),
En \( (2\pi, 1) \) (máximo global).
Interpretación gráfica.