Existe el conjunto de las transformaciones naturales o tiene que ser una clase?
El problema que plantea el enunciado del lema de Yoneda es mayor que el que has entrevisto al formular esa pregunta. Si te fijas en cómo lo plantea la wikipedia:
https://en.wikipedia.org/wiki/Yoneda_lemmaLo enuncia y lo demuestra sin hablar para nada de la "categoría" \( [\mathcal C, Sets] \) que tú defines, bajo la hipótesis esencial de que \( \mathcal C \) sea localmente pequeña, es decir, que las clases de los morfimos entre sus objetos sean conjuntos.
Sólo después de haber demostrado el lema de Yoneda con esta hipótesis, en el apartado titulado
The Yoneda embedding, se introduce la categoría que tú llamas \( [\mathcal C, Sets] \), que allí llaman \( Set^{\mathcal C} \) y enuncian el lema como tú lo haces, pero bajo la hipótesis de que la categoría \( \mathcal C \) sea pequeña (de modo que la clase de sus objetos sea un conjunto), hipótesis que no hace falta para demostrar en lema de Yoneda, pero sí para enunciarlo como tú lo haces.
Esas precauciones no son un capricho. Lo que sucede es que si la clase de objetos de \( \mathcal C \) no es un conjunto, entonces cada funtor \( \mathcal C\longrightarrow Sets \) es una clase propia, por lo que no existe ninguna clase (ni clase ni conjunto) que tenga por elementos a todos los funtores contravariantes \( \mathcal C\longrightarrow Sets \). En pocas palabras, tu categoría \( [\mathcal C, Sets] \) no existe.
Igualmente, y esto responde a tu pregunta, cada transformación natural \( T:h_X\longrightarrow F \) es una clase propia (si \( \mathcal C \) no es pequeña), por lo que no es que la clase de todas ellas no sea un conjunto, sino que la clase de todas ellas no existe. Sin embargo, lo que dice el lema de Yoneda es precisamente que puedes hablar indirectamente de la clase de todas ellas, que resulta ser un conjunto, de hecho, porque tales transformaciones naturales se corresponden biunívocamente con los elementos del conjunto \( F(X) \).
Dicho de otro modo: en teoría no puedes escribir "sea el conjunto de todas las transformaciones naturales de \( h_X \) en \( F \), porque eso no existe, ni como conjunto, ni como clase, pero el lema de Yoneda te permite hacer trampa y decir:
Llamo \( Mor(h_X, F) \) al conjunto de todas las transformaciones naturales de \( h_X \) en \( F \), que ya sé que no existe, pero cuando diga que \( T\in Mor(h_X, F) \), esto habrá que entenderlo como una notación cómoda para expresar que \( T=T^A \), para cierto \( A\in F(X) \).
La alternativa, por supuesto, es restringir el enunciado a categorías pequeñas, pero eso es una limitación muy drástica que en realidad no es necesaria.
