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Mensajes - petras

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1
Lógica / Negación de una proposición lógica
« en: Hoy a las 01:02 pm »
¿Verdadero o falso?(R:V)

Si \( p \to q \) es: “Si todos los números primos son impares, entonces ningún número par es primo”, entonces la negación de \( p \to q  \)es: “Si cualquier número par es primo, entonces no todos los números primos son impares”.

La negación no sería \( \neg (p\to q)\Leftrightarrow p\wedge \neg q \)?

Todos los números primos son impares y al menos algún número par es primo?

Mensaje corregido desde la administración.

2
Lógica / Re: Proposición lógica.
« en: Ayer a las 05:18 pm »
Gracias a todos

Saludos

3
Matemática de Escuelas / Re: Función compuesta
« en: Ayer a las 05:14 pm »
Hola

Hola Luis, No entendí cómo llegó a \( \frac{1}{1-x} <-5 \implies 1 < x < \frac{6}{5} \)
¿No seria? x < 1 ou x > 6?

En primer lugar para que se cumpla \( \dfrac{1}{1-x} <-5 \), la fracción de la izquierda debe de ser negativa y por tanto el denominador también, es decir, \( x>1 \). En ese caso cambiando de signo nos queda la desigualdad:

\( \dfrac{1}{x-1}>5 \)

Invirtiendo:

\( x-1<\dfrac{1}{5}\quad \Leftrightarrow{}\quad x<\dfrac{6}{5} \)

En conjunto:

\( 1<x<\dfrac{6}{5} \)

Saludos.

Gracias, veo dónde me equivoqué.
Saludos

4
Matemática de Escuelas / Re: Función compuesta
« en: Ayer a las 02:22 pm »
Hola

Considere las funciones \( f(x) = \sqrt{\dfrac{x^{2}-5x+6}{3x^{2}+9x-30}}  \) y \( g(x) = \dfrac{1}{1-x} \) . El número de números enteros que
pertenecen al dominio de la función \( f(g(x) \)) es:

¿Hay alguna alternativa a reemplazar \( g(x) \) en \( x \) y luego encontrar el dominio?

En primer lugar calculamos el dominio de \( g(x) \) que claramente es \( \Bbb R-\{\color{red}1\color{black}\} \).

Después el de \( f(x) \) que corresponde a los valores de \( x \) para los cuales el cociente \( \dfrac{x^{2}-5x+6}{3x^{2}+9x-30} \) es positivo y no se anula el denominador.

El numerador se anula cuando \( x=2 \) ó \( x=3 \) y el denominador cuando \( x=\color{red}2\color{black} \) y \( x=\color{red}-5\color{black} \). Estudiamos el signo del cociente en los valores intermedios:

\( x\in (-\infty,-5) \): numerador positivo y denominador positivo: COCIENTE POSITIVO.
\( x\in (-5,2) \): numerador positivo y denominador negativo: COCIENTE NEGATIVO.
\( x\in (2,3) \): numerador negativo y denominador positivo: COCIENTE NEGATIVO.
\( x\in (3,\infty) \): numerador positivo y denominador positivo: COCIENTE POSITIVO.

Por tanto:

\( dominio(f)=(-\infty,-5)\cup [3,\infty) \)

Finalmente analizamos cuando \( g(x)=\dfrac{1}{1-x}\in dominio(f) \):

\( \dfrac{1}{1-x}<-5 \) si y sólo si \( 1<x<6/5 \)
\( \dfrac{1}{1-x}\geq 3 \) si y sólo si \( 2/3<x<1 \)


La conclusión es que NO HAY ningún entero que pertenezca al dominio.

Saludos.

CORREGIDO

Hola Luis, No entendí cómo llegó a \( \frac{1}{1-x} <-5 \implies 1 < x < \frac{6}{5} \)
¿No seria? x < 1 ou x > 6

\( \frac{2}{3} \color{red}\leq x < 1 \)?
Saludos



5
Lógica / Proposición lógica.
« en: Ayer a las 02:03 pm »
Entre las siguientes alternativas, seleccione la que presenta una proposición verdadera.

A)No es cierto que "1 + 1 = 3" o "1 + 2 = 3".
B) No es cierto que "3 + 3 = 7" si y sólo si "4 + 4 = 9".


6
Matemática de Escuelas / Re: Función compuesta
« en: 03 Diciembre, 2022, 04:01 pm »
Hola

De acuerdo con el razonamiento Luis pero no con los resultados. ¡Ojo! tienes varios errores (Dominio de g y valores donde se anula el denominador del
radicando). ;)

Gracias. Unas desgraciadas erratas que arrastré.

Espero no haberme equivocado ahora; si así fuera, no dudes en escribir la solución correcta.  ;)

Saludos.

Gracias, creo que de esta manera es más simple que reemplazar g(x) en f(x)

7
Matemática de Escuelas / Función compuesta
« en: 02 Diciembre, 2022, 02:57 pm »
Considere las funciones \( f(x) = \sqrt{\dfrac{x^{2}-5x+6}{3x^{2}+9x-30}}  \) y \( g(x) = \dfrac{1}{1-x} \) . El número de números enteros que
pertenecen al dominio de la función \( f(g(x) \)) es:

¿Hay alguna alternativa a reemplazar \( g(x) \) en \( x \) y luego encontrar el dominio?

8
Cuadriláteros / Re: Area de un paralelogramo
« en: 01 Diciembre, 2022, 12:58 pm »
Hola

Sean dos paralelogramos \( ABCD \) y \( EFGD \). Sabiendo que el punto \( E \) está en el lado \( AB \) y el punto \( C \) está en el lado \( FG \), como se muestra en la figura,
Si el área del paralelogramo \( ABCD \) es \( 30 m^2 \), entonces el área del triángulo \( FGD \) es(R:\( 15 \))

El área del triángulo \( FGD \) es la mitad de la del paralelogramo \( EFGD \).

Pero puedes ver que éste tiene el mismo área que uno con la misma base y altura que \( ABCD \) y por tanto el mismo área que este paralelogramo:


Saludos.

Muy bien..agradecido

Saludos

9
Cuadriláteros / Area de un paralelogramo
« en: 01 Diciembre, 2022, 12:27 am »
Sean dos paralelogramos \( ABCD \) y \( EFGD \). Sabiendo que el punto \( E \) está en el lado \( AB \) y el punto \( C \) está en el lado \( FG \), como se muestra en la figura,
Si el área del paralelogramo \( ABCD \) es \( 30 m^2 \), entonces el área del triángulo \( FGD \) es(R:\( 15 \))

No pude encontrar los enlaces


10
Probabilidad / Re: Distribución hipergeométrica
« en: 29 Noviembre, 2022, 01:05 am »
La función de distribución es

\( \operatorname{P}[X=x]=\dfrac{{K\choose x}{{N-K\choose n-x}}}{{N \choose n}}  \)

la probabilidad de hallar 1 en los 8 extraidos

\( \operatorname{P}[X=1]=\dfrac{{4\choose 1}{{50-4\choose 8-1}}}{{50 \choose 8}}  \)

pero la probabilidad de abrir la caja entera es uno menos la probabilidad de no hallar ninguna defectuosa

\( P=1-\operatorname{P}[X=0]=1-\dfrac{{4\choose 0}{{50-4\choose 8-0}}}{{50 \choose 8}} \)

si no me equivoco es así.

Saludos


Agradecido
Saludos

11
Probabilidad / Distribución hipergeométrica
« en: 28 Noviembre, 2022, 12:52 am »
Una empresa produce esferas metálicas que se envasan en cajas de 50 unidades cada una. El departamento de calidad de esta empresa examina cada caja antes de enviarla al cliente, probando ocho esferas. Si ninguna bola está defectuosa, se acepta la caja. De lo contrario, se prueban todas las esferas de la caja. Si hay cuatro bolas defectuosas en una caja, ¿cuál es la probabilidad de que sea necesario examinar todas las bolas de la caja?
Alternativas:
A - 3,4%
B - 2,9%
C - 1,7%
D - 4,3%
E - 2,2%

Sería un caso de distribución hipergeométrica pero no estoy muy familiarizado con este tema

12
Teoría de números / Re: Sistemas de Numeración
« en: 27 Noviembre, 2022, 02:45 am »
Hola

Hola

El número 3416 está en base 7. ¿En qué base está escrito 52?

Hola,
Su declaración es en realidad más clara.

Agradecido

Saludos

Yo sospecho que ese enunciado está incompleto. Tal como está no tiene sentido.
Hola
Creo que es similar a la pregunta que hice en respuesta a Ingmarov
Saludos

En ese caso la redacción tendría que ser:

El número 3416 está en base 7. ¿En qué base ese mismo número se escribe como 52?

Pero como ha mostrado Richard, no da una solución entera.

Saludos.

13
Teoría de números / Re: Sistemas de Numeración
« en: 27 Noviembre, 2022, 02:44 am »
El número 3416 está en base 7. ¿En qué base está escrito 52?


El número \( 3416_7\equiv 1238_{10} \)


\( 1238=5x^1+2x^0\quad \to\quad x=\dfrac{1238-2}{5}\notin \mathbb Z \)


entonces \( x \) no es entero , no tiene sentido que lo formules de esa manera tampoco....  hay error en el enunciado revisa los datos.


Saludos

Hola,
Creo que la afirmación está mal.
Agradecido

Saludos

14
Teoría de números / Re: Sistemas de Numeración
« en: 26 Noviembre, 2022, 05:18 pm »
Hola

El número 3416 está en base 7. ¿En qué base está escrito 52?

Yo sospecho que ese enunciado está incompleto. Tal como está no tiene sentido.

Saludos.
Hola
Creo que es similar a la pregunta que hice en respuesta a Ingmarov
Saludos

15
Teoría de números / Re: Sistemas de Numeración
« en: 26 Noviembre, 2022, 05:16 pm »
Hola

El número 3416 está en base 7. ¿En qué base está escrito 52?

Si lo que pide es la mínima base en la que puede estar escrito un número, entonces 52 puede estar escrito en base 6 (la mínima base). Pero podría estar escrito en cualquier base mayor que 5.

Saludos

Hola
Creo que es similar a esta pregunta:

Un número en base 10 se escribe 37; ¿en qué base se escribirá 52?

\( (37)_{10} = 3.10^1+7.10^0\\
(52)_x = 5x^1+2.x^0\\
5x+2=37 \implies x=7\\
\therefore (52)_7=5.7^1+2.7^0
 \)
Saludos

16
Teoría de números / Sistemas de Numeración
« en: 26 Noviembre, 2022, 01:26 pm »
El número 3416 está en base 7. ¿En qué base está escrito 52?

17
Trigonometría y Geometría Analítica / Ecuación trigonométrica
« en: 26 Noviembre, 2022, 12:38 am »
Los valores de "x" que satisfacen la siguiente ecuación trigonométrica \(  ~cos(x) - \sqrt3sin(x)=1 \)
(R:\( x=2k\pi \vee -\frac{2\pi}{3}+2k\pi \))

\( cos(x) - \sqrt3sin(x)=1\implies \frac{cosx}{cosx}-\frac{-\sqrt3sinx}{cosx}=\frac{1}{cosx}\\
1 - \sqrt3 tgx=secx\implies (1-\sqrt3tgx)^2=sec^2x\\
1- 2\sqrt3x+3tg^2x=1+tg^2x\implies 2tg^2x-2\sqrt3x=0\\
tgx(tgx-\sqrt3)=0\implies tg x = 0~\vee tgx= \sqrt3\\
x = k\pi \vee x = \frac{\pi}{3}+k\pi \)

¿Qué estaría mal con esta solución?

18
Combinatoria / Re: Anagrama
« en: 26 Noviembre, 2022, 12:18 am »
Hola

Consideremos los anagramas formados con las letras de la palabra CORROBORAR en los que no hay dos vocales en posiciones consecutivas.

Así, el número de estos anagramas es(R:42 000)

No puedo encontrar una forma práctica de encontrar los anagramas... ¿Alguna idea?
Probé el principio de inclusión y exclusión pero sin éxito

Tienes cuatro vocales y seis consonantes. Primero pensemos en la distribuciones vocal/consontante posible. Desde luego cada una de las cuatro vocales tiene que estar separada de otra por una consonantes. Esto nos deja esta configuración:

\( -VC-VC-VC-V- \)

De manera que las tres consonantes restantes pueden ir en cualquiera de los cinco huecos que he marcado con un guión (podría ir todas en uno o dejar alguno vacío). Las formas de distribuirlo son las combinaciones con repetición de cinco tipos de elementos tomados de tres en tres:

\( CR_{5,3}=\displaystyle\binom{5+3-1}{3}=\displaystyle\binom{7}{3}=\dfrac{7\cdot 6\cdot 5}{1\cdot 2\cdot 3}=35 \)

Una vez que sabemos donde van las vocales y donde las consontantes, tenemos que distribuir en las vocales cuatro de las cuales tres son iguales entre si. Las formas de hacerlo son permutaciones con repetición \( PR_{4;3}=\dfrac{4!}{3!}=4 \).

Análogamente para distribuir las consonantes tenemos \( PR_{6;4}=\dfrac{6!}{4!}=30 \).

En total:

\( 35\cdot 4\cdot 30=42000  \)

Saludos.

Muy bien, gracias.

19
Combinatoria / Anagrama
« en: 25 Noviembre, 2022, 02:30 pm »
Consideremos los anagramas formados con las letras de la palabra CORROBORAR en los que no hay dos vocales en posiciones consecutivas.

Así, el número de estos anagramas es(R:4200)

No puedo encontrar una forma práctica de encontrar los anagramas... ¿Alguna idea?
Probé el principio de inclusión y exclusión pero sin éxito

20
Matemática de Escuelas / Re: Área máxima
« en: 23 Noviembre, 2022, 04:19 pm »
Hola

Considera el rectángulo 𝑅 con dimensiones 𝑎 y 𝑏 y el rectángulo 𝑊 que circunscribe 𝑅 tal que cada lado de 𝑊 contiene solo un vértice de 𝑅. Entonces, encuentra la expresión que representa el área máxima de 𝑊.(R:\( \frac{1}{2}(a+b)^2 \))

No puedo seleccionar las variables,. probablemente alcanzará una función cuadrática. Si fueran dos cuadrados sería más fácil.
Aquí hay un dibujo que hice para ayudar.



Otra forma. Si llamas \( h_a,h_b \) respectivamente a los triángulos \( CDK \) y \( DEL \) el área del rectángulo circunscrito es:

\( A=a\cdot h_a+b\cdot h_b+ab \)

Dado que los triángulos indicados son rectángulo en el ángulo opuesto a \( a,b \), el máximo valor posible de la altura es la mitad del lado:

\( h_a=a/2 \) y \( h_b=b/2 \)

En ese caso ambos triángulos son isósceles  y por tanto el ángulo que forman los lados del rectángulo circunscrito es de \( 45^o \). Es un rectángulo viable y por tanto el área máxima es:

\( A=a\cdot a/2+b\cdot b/2+ab=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+2ab}=\dfrac{1}{2}(a+b)^2 \)

Saludos.

Gracias
Saludos

\( a.\frac{a}{2}+b.\frac{b}{2}+ab = \frac{1}{2}(a+b)^2 \)

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