Mostrar Mensajes

Esta sección te permite ver todos los posts escritos por este usuario. Ten en cuenta que sólo puedes ver los posts escritos en zonas a las que tienes acceso en este momento.

Temas - delmar

Páginas: [1]
1
Hola

Estimados foristas acá con una serie en que mi solución no es bien vista por el uso de una propiedad trigonométrica  (a pesar que para mi es básica), enuncio el problema y la resoluciòn y atento a sus observaciones y sugerencias :

Dada la serie \( S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n{log(k \ sen (1/k))} \) averiguar su convergencia y en caso converga averiguar si lo hace absolutamente

Resolución

La serie se  corresponde con la sucesión \( a_k=log(k \ sen (1/k)) \) se averigua primero si cumple la condición necesaria de convergencia :

\( \displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{a_k}=\displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{log(\displaystyle\frac{sen(1/k)}{(\displaystyle\frac{1}{k})})} \)

El hecho que \( \displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{\displaystyle\frac{1}{k}}=0 \wedge \displaystyle\lim_{x \to{+}0}{\displaystyle\frac{sen x}{x}}=1 \) implican \( \displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{a_k}=0 \)

En consecuencia \( S_n \) cumple la condición necesaria y puede converger

Una observación de algunos términos, hace suponer que \( a_k<0 \) y se procede a demostrarlo

Partiendo de una propiedad trigonométrica básica : \( 0<cos y<\displaystyle\frac{sen y}{y}<\displaystyle\frac{1}{cos y}, \ \ si \ \ 0<y<\pi/2 \)

De la última inecuación se desprende \( sen \ 2y<2y, \ \ \ si \ \ 0<y<\pi/2  \)

Considerando \( 2y=\displaystyle\frac{1}{k}\Rightarrow{0<\displaystyle\frac{sen(\displaystyle\frac{1}{k})}{(\displaystyle\frac{1}{k})}<1}\Rightarrow{log(\displaystyle\frac{sen(\displaystyle\frac{1}{k})}{(\displaystyle\frac{1}{k})})=a_k<0} \)

En consecuencia \( \left |{a_k}\right |=-a_k=log(\displaystyle\frac{1}{ksen(1/k)}) \)

Usando la propiedad básica se tiene : \( cos (1/k)<k sen (1/k)\Rightarrow{\displaystyle\frac{1}{cos (1/k)}>\displaystyle\frac{1}{k sen (1/k)}}\Rightarrow{b_k=log(\displaystyle\frac{1}{cos(1/k)})>\left |{a_k}\right |} \)

Se averigua la convergencia de la serie \( \displaystyle\sum_{k=1}^n{b_k} \) por comparación por paso al límite con la serie \( \displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{1}{k^2}} \) :

\( \displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{\displaystyle\frac{b_k}{(1/k^2)}}=1/2 \) esto implica que la serie  converge y por ende también \( S_n \) converge absolutamente

Saludos


Nota :
Para el último límite se usa el hecho \( \displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{(\displaystyle\frac{1}{k})}=0 \wedge \displaystyle\lim_{t \to{}+0}{\displaystyle\frac{log(\displaystyle\frac{1}{cos t})}{t^2}}=1/2 \)

2
Hola estimados foristas, acá con una serie cuya convergencia o divergencia ha de determinarse, lo he resuelto pero por un camino no muy usual, lo enuncio y muestro la resolución, esperando sus observaciones y alternativas de solución, gracias de antemano

ENUNCIADO

Dada la sucesión \( a_k=\displaystyle\frac{(-1)^k}{\sqrt[ ]{k}+(-1)^k}, \ \ k=2,3,.. \)

La serie correspondiente  \( S_n=\displaystyle\sum_{k=2}^n{a_k} \)  Estudiarla y averiguar si converge o diverge

RESOLUCIÓN

La sucesión cumple la condición necesaria para que la serie converga \( \displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{a_k}=0 \) se buscó si era absolutamente convergente de la siguiente manera :

\( -1\leq{(-1)^k}\leq{1}\Rightarrow{\sqrt[ ]{k}-1\leq{\sqrt[ ]{k}+(-1)^k}\leq{\sqrt[ ]{k}+1}} \)     Inec 1


Si \( k\geq{2}>1\Rightarrow{\sqrt[ ]{k}>1}\Rightarrow{\sqrt[ ]{k}-1>0} \) en consecuencia es válido :

\( \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{k}-1}\geq{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{k}+(-1)^k}}=\left |{a_k}\right |\geq{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{k}+1}} \)

La sucesión de la derecha se corresponde con una serie divergente, se demuestra esta condición utilizando el criterio de comparación por paso al límite, comparando con la sucesión \( \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{k}} \) cuya serie correspondiente es divergente, detallando

\( \displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{\displaystyle\frac{1/(\sqrt[ ]{k}+1)}{1/\sqrt[ ]{k}}}=1 \) , en consecuencia la serie absoluta \( \displaystyle\sum_{k=1} ^ n  {\left |{a_k}\right |} \) también diverge por el criterio de comparación, de todas maneras existe la posibilidad que \( S_n \) sea condicionalmente convergente. En este punto se observa a la serie como una sucesión y se encuentra que la subsucesión impar es :

\( S_3=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}+1}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3}-1} \)

\( S_5=(\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}+1}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3}-1})+(\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{4}+1}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{5}-1}) \)

\( S_7=(\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}+1}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3}-1})+(\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{4}+1}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{5}-1})+(\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{6}+1}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{7}-1}) \)

...

Esto se puede poner :

\( T_n=S_{2n+1}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{(\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2k}+1}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2k+1}-1})} \) denominando \( b_k=(\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2k}+1}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2k+1}-1}) \)

Se observa que \( b_k<0 \) se puede analizar \( \displaystyle\sum_{k=1}^n{-b_k} \) la cual es una serie de una sucesión positiva, lo ponemos de la siguiente manera :

\( -b_k=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2k+1}-1}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2k}+1}=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2k}+2-\sqrt[ ]{2k+1}}{(\sqrt[ ]{2k+1}-1)(\sqrt[ ]{2k}+1)}\geq{\displaystyle\frac{1}{(\sqrt[ ]{2k+1}-1)(\sqrt[ ]{2k}+1)}}=c_k \) Este paso se demuestra demostrando que el numerador siempre es mayor o igual a 1

En este punto utilizando el criterio de comparación por paso al límite con la sucesión armónica \( \displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{\displaystyle\frac{c_k}{1/k}}=\displaystyle\frac{1}{2} \) se tiene que la serie \( \displaystyle\sum_{k=1}^n{c_k} \) diverge, esto implica que la sucesión y serie \( T_n \) diverge, por ser \( T_n \) una subsucesión de  \( S_n \) esto es suficiente para decir que \( S_n \) diverge

Saludos

3
Cálculo 1 variable / Estudiar la convergencia de una serie
« en: 27 Agosto, 2022, 04:18 am »
Hola estimados foristas, aquí con un problema de series, esperando sus observaciones y sobretodo alguna forma más concisa, es que en el desarrollo  hago algunos artificios

Enunciado

Considerando la sucesión :

\( a_k=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2k-1} \ \ ln(4k+1)}{k(k+1)} \)

Averiguar si la serie correspondiente \( S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_k} \) converge o diverge

Resolución

Haciendo una observación la sucesión tiene términos positivos y haciendo algunos arreglos  :

\( a_k=\displaystyle\frac{\ \sqrt[ ]{k(2-1/k)}  \ \ ln(4k+1)}{k(k+1)}=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2-1/k} \ \ ln(4k+1)}{\sqrt[ ]{k} \ \ (k+1)}\leq{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2} \ ln(4k+1)}{\sqrt[ ]{k}(k+1)}}=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2} \ ln(k \ \ (4+1/k))}{\sqrt[ ]{k} \ (k+1)} \)

Desarrollando se tiene :

\( a_k\leq{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2} \ ln k}{\sqrt[ ]{k} \ (k+1)}+\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2} \ ln (4+1/k)}{\sqrt[ ]{k} \ (k+1)}}=b_k+c_k \)  donde \( b_k\wedge c_k \) son sucesiones de términos no negativos que se corresponden con el primer y segundo sumando respectivamente

Las series \( \displaystyle\sum_{}^{}\displaystyle\frac{1}{k^{5/4}}, \ \ \displaystyle\sum_{}^{}\displaystyle\frac{1}{k^{3/2}} \) son de sucesiones de términos positivos convergentes, utlizando el criterio de comparación por paso al límite se tiene :

\( \displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{\displaystyle\frac{b_k}{\displaystyle\frac{1}{k^{5/4}}}}=\displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2} \ ln k}{(1+1/k) \ k^{1/4}}}=0 \)

En consecuencia \( \displaystyle\sum_{}^{}b_k \) converge eso implica que esta acotada superiormente

\( \displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{\displaystyle\frac{c_k}{\displaystyle\frac{1}{k^{3/2}}}}=\displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2} \ ln(4+1/k)}{(1+1/k)}}=\sqrt[ ]{2} ln4 \)

En consecuencia \( \displaystyle\sum_{}^{}c_k \) converge eso implica que esta acotada superiormente

Se concluye que \( \displaystyle\sum_{}^{}a_k \) esta acotada superioremente luego converge

Esperando sus observaciones o alguna alternativa de solución

Gracias

Saludos


5
Probabilidad / problema de eventos independientes
« en: 14 Mayo, 2022, 05:08 am »
Hola estimados foristas

Presento un problema y su resolución, en que no llego a la respuesta

Problema :
Suponiendo que un estudiante cursa 4 asignaturas, durante un determinado semestre y que sus probabilidades de obtener A son 0.2, 0.5, 0.1, 0.7 respectivamente a esas asignaturas

a) ¿Cuál es la probabilidad que obtentan solamente A?
b) ¿Cuál es la probabilidad que obtenga exactamente 3, A?
¿Se puede cuestionar la manera de responder las interrogantes?

Resolución :

Suceso aleatorio constituye las calificaciones de 4 asignaturas (asignaturas 1,2,3,4)
Determina el suceso aleatorio \( (x_1,x_2,x_3,x_4) \) donde \( x_i \) es la calificación se la asignatura i en consecuencia es \( A \) o no A (A')
El espacio muestral \( S=\left\{{(x_1,x_2,x_3,x_4) \ / \ x_i\in{\left\{{A,A'}\right\}} \ i=1,2,3,4}\right\} \)
El suceso aleatorio se lo puede considerar como una secuencia de 4 sucesos aleatorios elementales (resultados A o A' para cada asignatura) independientes

a) Denominando al evento \( E=\left\{{(A,A,A,A)}\right\} \) se tiene :

\( p(E)=p_1(A) \ p_2(A) \ p_3(A) \ p_4(A)=0.2(0.5)(0.1)(0.7)=0.007 \)

b) Denominando al evento \( F=\left\{{(A,A,A,A'),(A,A,A',A),(A,A',A,A),(A',A,A,A)}\right\} \)

La probabilidad será la suma de las probabilidades de los eventos de un solo evento que lo forman :

\( P((A,A,A,A'))=0.2(0.5)(0.1)0.3 \)

\( P((A,A,A',A))=0.2(0.5)(0.9)0.7 \)

\( P((A,A',A,A))=0.2(0.5)(0.1)0.7 \)

\( P((A',A,A,A))=0.8(0.5)(0.1)0.7 \)

Sumando \( P(F)=0.101 \)

En el libro coincido con la respuesta en a) pero en b) dice que \( p(F)=0.404 \)

Realmente no se, si deliberadamente esta equivocándose (por la interrogante final que pone) o se refiere a la hipótesis de independencia en ese caso mi respuesta es equivocada

Espero sus comentarios y gracias de antemano

Saludos

6
Probabilidad / Variable aletoria y probabilidad
« en: 11 Mayo, 2022, 04:34 am »
Hola estimados foristas

Presento un problema y su resolución, que definitivamente dista mucho de las respuestas dadas por el profesor del curso

Problema :

Un hombre tiene 4 llaves en su bolsa.Por estar oscuro, no puede ver cuál es la llave de la puerta, prueba una a la vez, hasta encontrar la correcta. Sea X el número de llaves que prueba (incluyendo la correcta) para abrir la puerta. ¿Cuál es la función de probabilidad para X?

Resolución :

El suceso aleatorio es la prueba de llaves hasta encontrar la correcta y abrir la puerta
Si denominamos a las llaves como a,b,c,d donde c es la correcta
Una determinación del suceso aleatorio será una n-ordenada, donde n puede ser 1,2,3,4; por ejemplo  : \( (d,a,c) \) en este caso es una 3-ordenada, siempre el último elemento sera c
El espacio muestral \( S=\left\{{(c);(a,c),(b,c), (d,c);(a,b,c),(b,a,c),(a,d,c),(d,a,c),(b,d,c),(d,b,c);(a,b,d,c),(b,a,d,c),(d,b,a,c),(a,d,b,c),(d,a,b,c),(b,d,a,c)}\right\} \) su cardinal es 16
X, la variable aleatoria, es una función que asocia a cada elemento del espacio muestral un número real, en este caso será el número de elementos de la ordenada en consecuencia si \( w\in{S}\Rightarrow{X(w)} \) es la variable aleatoria y sus valores serán :1,2,3,4

Y la función de probabilidad será:

\( p_X(1)=\displaystyle\frac{1}{16} \)

\( p_X(2)=\displaystyle\frac{3}{16} \)

\( p_X(3)=\displaystyle\frac{6}{16} \)

\( p_X(4)=\displaystyle\frac{6}{16} \)

Las respuestas que da el profesor es que todas las probabilidades son iguales a \( \displaystyle\frac{1}{4} \)

Es evidente que la exposición se da a alumnos que recién empiezan el curso de probabilidades. Espero sus comentarios, ¿los conceptos están correctos? y principalmente las respuestas

Agradezco su atención, gracias de antemano

Saludos

7
Probabilidad / Ejercicio de probabilidad condicional
« en: 07 Mayo, 2022, 05:14 am »
Hola foristas

Presento un problema y su respectiva solución; pero al final de la exposición a un grupo de estudiantes de medicina, hicieron  comentarios que llenan de inquietud

Problema :
Suponiendo que existe una prueba diagnóstica de cáncer que tiene una exactitud del 95% tanto para los que tienen cáncer como para los que no tienen. Si 0.005 de la población tienen cáncer, calcular la probabilidad que determinado individuo tenga cáncer, si la prueba dice que lo tiene

Solución :

El suceso aleatorio constituye la elección de una persona (de la población) y el sometimiento a la prueba diagnóstica de cáncer

El resultado constituye : la persona elegida con cáncer o sin cáncer y el resultado de la prueba (positivo o negativo)

El espacio muestral \( S=\left\{{(x,y) \ x\in{\left\{{C,S/C}\right\}\wedge y \in{\left\{{+,-}\right\}}}}\right\} \) detallando

\( S=\left\{{(C,+),(C,-), (S/C,+),(S/C,-)}\right\} \)

C y S/C, significan persona con cáncer y  persona sin cáncer respectivamente
+ y -, significan que la prueba dio positivo y negativo respectivamente

Para interpretar los datos del enunciado, se consideran tres eventos A, B, C:

\( A=\left\{{(C,+),(C,-)}\right\} \) que la persona elegida tenga cáncer

\( F=\left\{{(C,+)}\right\} \) aciertos de la prueba en personas con cáncer

La probabilidad condicional implica

\( P(F/A)=0.95=\displaystyle\frac{P(F)}{P(A)} \) donde por dato \( P(A)=0.005 \) en consecuencia \( P(F)=0.95(0.005) \)

Evento B persona elegida  sin cáncer :

\( B=\left\{{(S/C,+),(S/C,-)}\right\} \)

\( U=\left\{{(S/C,-)}\right\} \) aciertos de la prueba en persona sin cáncer

Probabilidad condicional implica :

\( P(U/B)=0.95=\displaystyle\frac{P(U)}{P(B)} \) donde \( P(B)=1-0.005=0.995 \) en consecuencia  : \( P(U)=0.95(0.995) \)

Evento C resultado de la prueba positivo

\( C=\left\{{(C,+),(S/C,+)}\right\} \)

Evento F es dado positivo el resultado se acierte, es decir la persona que se eligío tenga cáncer

Evento H es dado positivo el resultado falle, es decir la persona que se eligío no tenga cáncer

Precisamente la interrogante es conocer \( P(F/C)=? \)

\( P(F/C)=\displaystyle\frac{P(F)}{P(C)} \) hay que conocer \( P(C) \) se tiene :

\( P(C)=P(F)+P(H) \) pero \( P(B)=P(H)+P(U)\Rightarrow{P(H)=0.995-0.95(0.995)=0.05(0.995)} \)

Luego \( P(F/C)=\displaystyle\frac{0.95(0.005)}{0.95(0.005)+0.05(0.995)}=0.087 \)

Los comentarios de los estudiantes fueron "bien, pero entonces una BUENA prueba diagnóstica de cáncer, con resultado positivo en 100 casos, solamente implica que aproximadamente 9 lo tengan"
"El proceso lo vemos muy extenso ¿no hay un atajo?"

La extensión es con el objeto de que se haga entendible pero creo que contraproducente

Espero sus comentarios al respecto, si esta correctamente resuelto, si se puede hacer más resumido pero entendible  y bueno sobre los comentarios de los estudiantes, les agradezco de antemano

Saludos

8
Probabilidad / Problema de probabilidad condicional
« en: 29 Abril, 2022, 03:34 am »
Hola foristas

Enuncio y resuelvo un problema de probabilidad condicional, en que no llego a la respuesta.

Una urna contiene 2 bolas negras y 5 cafés. Se selecciona una bola al azar. Si la bola es café, se devuelve a la urna y se agregan otras 2 bolas cafés. Si la bola es negra, no se reemplaza en la urna y tampoco se agregan bolas adicionales. Se saca de la urna una segunda bola. ¿Cuál es la probabilidad de que sea café?

Solución

El suceso aleatorio constituye la elección de dos colores (colores de las bolas elegidas), el resultado posible se determina por un par ordenado y el espacio muestral es \( S=\left\{{(x,y) \ / \ x,y\in{\left\{{café, negra}\right\}}}\right\} \), el evento cuya probabilidad piden, E, son los resultados en los que el color de la segunda bola elegida es café \( E=\left\{{(x,y)\in{S} \ / \ y=café}\right\} \). En este punto se consideran dos eventos A y B para ayudar a resolver el problema :

A son las elecciones en que el color de la primera bola es café, \( A=\left\{{(x,y) \  / \ x=café}\right\} \)

B son las elecciones en que el color de la primera bola es negra, \( B=\left\{{(x,y) \  / \ x=negra}\right\} \)

\( S=A\cup{B} \ \wedge \ A\cap{B}=\emptyset \) se tiene que \( P(A)=5/7, \ P(B)=2/7 \)

Además se tiene \( P(E/A)=7/9, \ P(E/B)=5/6 \), en ese punto se tiene \( (E\cap{A})\cup{(E\cap{B})}=E \ \wedge \ (E\cap{A})\cap{(E\cap{B})}=\emptyset \)

Por lo tanto : \( P(E)=P(E\cap{A})+P(E\cap{B}) \)

Pero \( P(E/A)=\displaystyle\frac{P(E\cap{A})}{p(A)}, \ P(E/B)=\displaystyle\frac{P(E\cap{B})}{p(B)} \) despejando se tiene :

\( P(E\cap{A})=P(E/A) \ P(A), \ P(E\cap{B})=P(E/B) \ P(B) \) sustituyendo valores :

\( P(E\cap{A})=(7/9) \ (5/7)=5/9, \ P(E\cap{B})=(5/6) \ (2/7)=5/21 \)

\( P(E)=5/9+5/21=50/63 \)

La respuesta que dan es 50/68

Sus comentarios son bienvenidos, gracias

Saludos

9
Cálculo 1 variable / Polinomio de Taylor y magnitud de error
« en: 27 Febrero, 2022, 04:07 am »
Hola

Enuncio un problema en que hay duda sobre el error.

Determinar polinomio de Taylor para la función \( f(x)=ln \  x \) alrededor de e para encontrar una aproximación de \( ln \ 3 \) que sea exacta de \( 10^{-4} \)

f(x) es infinitamente derivable con continuidad, en entornos de e que contienen a 3, se tiene :

\( f(x)=ln \ x, \ f^1(x)=\displaystyle\frac{1}{x}, \ f^2(x)=\displaystyle\frac{-1}{x^2}, \ f^3(x)=\displaystyle\frac{2}{x^3}, \ f^4(x)=\displaystyle\frac{-6}{x^4} \)

Por simple inspección se puede inducir \( f^k(x)=\displaystyle\frac{(-1)^{k+1}(k-1)!}{x^k}, \ k\in{Z^+} \), se puede demostrar :

Spoiler
Demostración \( f^k(x)=\displaystyle\frac{(-1)^{k+1}(k-1)!}{x^k}, \ k\in{Z^+} \)

Por inducción
k=1

\( f^k(x)=f^1(x)=\displaystyle\frac{1}{x} \)

\( \displaystyle\frac{(-1)^{k+1}(k-1)!}{x^k}=\displaystyle\frac{(-1)^{1+1}(1-1)!}{x}=\displaystyle\frac{1}{x} \)

Por lo tanto : \( f^k(x)=\displaystyle\frac{(-1)^{k+1}(k-1)!}{x^k} \)

k+1

Suponiendo verdad el teorema para k se tiene  \( f^k(x)=\displaystyle\frac{(-1)^{k+1}(k-1)!}{x^k} \)

Derivando nuevamente \( f^{k+1}(x)=\displaystyle\frac{(-1)^{(k+1)+1} \ k!}{x^{k+1}} \)

LQQD

[cerrar]

El polinomio de Taylor de grado n alrededor de e es \( T_n(f,e)(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n{\displaystyle\frac{f^k(e)}{k!}(x-e)^k} \)

Por ser \( f^{n+1} \) continua se tiene que el error \( R_n(x)=\displaystyle\frac{f^{n+1}(\mu (x))}{(n+1)!}(x-e)^{n+1} \) donde \( \mu (x) \) esta comprendido entre e y x

Para este caso x=3 en consecuencia se tiene :

\( R_n(3)=\displaystyle\frac{f^{n+1}(\mu (3))}{(n+1)!}(3-e)^{n+1}\Rightarrow{\left |{R_n(3)}\right |=\left |{f^{n+1}(\mu(3))}\right | \ \displaystyle\frac{(3-e)^{n+1}}{(n+1)!}} \)

Analizando :

\( \left |{f^{n+1}(\mu(3))}\right |=\displaystyle\frac{n!}{\mu (3)^{n+1}} \) pero \( e<\mu(3)<3\Rightarrow{\displaystyle\frac{1}{\mu(3)}<\displaystyle\frac{1}{e}}\Rightarrow{\left |{f^{n+1}(\mu(3))}\right |<\displaystyle\frac{n!}{e^{n+1}}} \)

Por lo tanto :

\( \left |{R_n(3)}\right |< \displaystyle\frac{(3-e)^{n+1}}{(n+1)e^{n+1}} \) en consecuencia se ha de buscar un n tal que \( \displaystyle\frac{(3-e)^{n+1}}{(n+1)e^{n+1}}=10^{-4} \) Ec. 1

Por cuestión de tiempo (no lo he intentado) busco n tal que \( \displaystyle\frac{(3-e)^{n+1}}{(n+1)e^{n+1}}<10^{-4} \) y por tanteo ascendente n=3 verifica \( \left |{R_3(3)}\right |<2.8842(10)^{-5}\approx{3(10)^{-5}} \)

El polinomio sería \( T_3(f,e)(x)=1+(\displaystyle\frac{1}{e})(x-e)-(\displaystyle\frac{1}{2e^2})(x-e)^2+(\displaystyle\frac{1}{3e^3})(x-e)^3 \) con el error de \( 3(10)^{-5} \)

Mi duda es si es aceptable presentar mi respuesta (particularmente la considero aceptable) o insisto en resolver la Ec. 1, ojo que el error de mi respuesta es más fino y la solución de esa ecuación no es entera; pero en el enunciado esta la palabra exacta

Saludos

10
Cálculo 1 variable / Polinomio de Taylor y magnitud del error
« en: 17 Febrero, 2022, 04:00 am »
Hola

Enuncio un problema cuya respuesta no coincide con la dada, obviamente muestro la resolución, a la espera de sus opiniones

Sea \( f(x)=e^{-x} \) determinar el polinomio de Taylor de grado 3, para f alrededor de \( x_0=1 \), aproximar \( e^{-0.99} \) usando el polinomio de Taylor ¿Cuál es la magnitud del error?

Solución

f es derivable indefinidamente con continuidad, existe el polinomio de Taylor de grado 3, por definición es : \( T_3(f,1)(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^3{\displaystyle\frac{f^k(1)}{k!} \ (x-1)^k} \)

\( f(x)=e^{-x}\Rightarrow{f(1)=e^{-1}} \)

\( f^1(x)=-e^{-x}\Rightarrow{f^1(1)=-e^{-1}} \)

\( f^2(x)=e^{-x}\Rightarrow{f^2(1)=e^{-1}} \)

\( f^3(x)=-e^{-x}\Rightarrow{f^3(1)=-e^{-1}} \)

\( f^4(x)=e^{-x} \) en consecuencia se tiene : \( T_3(f,1)(x)=e^{-1} \ (1-(x-1)+\displaystyle\frac{(x-1)^2}{2}-\displaystyle\frac{(x-1)^3}{6}) \)

Luego la aproximación en \( x=0.99 \) es \( T_3(f,1)(0.99)=0.3715766909 \)

Para el error teniendo en cuenta que existe la derivada 4 y es continua se tiene en general (para x):

\( R_3(x)=\displaystyle\frac{f^4(\mu(x))(x-1)^4}{4!} \) donde \( x< \mu(x)<1 \)

Teniendo en cuenta que \( f^4(x)=e^{-x} \) es positiva y estrictamente decreciente en \( [0.99,1] \) y \( 0.99<\mu(0.99)<1 \) se tiene \( \left |{f^4(\mu(0.99))}\right |<e^{-0.99}\Rightarrow{\left |{R_3(0.99)}\right |<\displaystyle\frac{e^{-0.99}(0.99-1)^4}{4!}}=1.5(10)^{-10} \)

Esta resolución difiere en el error, según el solucionario es

Spoiler
5(10)^{-10}
[cerrar]

Esperando sus opiniones, gracias

Saludos

11
Cálculo 1 variable / Límite de una sucesión
« en: 16 Septiembre, 2021, 12:17 am »
Hola

Enuncio un problema referido a sucesiones  y muestro una solución, todo para captar diversas maneras de resolver el problema, espero sus alternativas a lo mostrado

Dada una función f real acotada, definida en un intervalo \( [a,b] \) decreciente, se tiene que \( \forall{n}\in{Z^+} \) se definen la partición \( x_k=a+k(\displaystyle\frac{b-a}{n}), \  \ k=0,1,2,...,n \) y las funciones escalonadas, con dominio [a,b] :

\( t_n(x)=f(x_{k-1}) \) si \( x\in{[x_{k-1},x_k)}, \ \ k=1,2,...,n \)

\( s_n(x)=f(x_{k}) \) si \( x\in{(x_{k-1},x_k]}, \ \ k=1,2,...,n \)

Sus integrales respectivos constituyen las sucesiones :

\( T_n=\displaystyle\int_{a}^{b}t_n(x)dx \)


\( S_n=\displaystyle\int_{a}^{b}s_n(x)dx \)

Demostrar que \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{T_n}=\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{S_n}=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \ dx \)

DEMOSTRACION

Por ser f decreciente se cumple \( s(x)\leq{f(x)}\leq{t(x)} \ \ \forall{x}\in{[a,b]} \ \forall{n}\in{Z^+} \)

Integrando se tiene : \( \displaystyle\int_{a}^{b}s_n(x)dx\leq{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx}\leq{\displaystyle\int_{a}^{b}t_n(x)dx} \ \ \  \forall{n}\in{Z^+} \)

Operando :

\( 0\leq{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx-S_n}\leq{T_n-S_n}, \ \ \forall{n}\in{Z^+} \) Inec 1

\( T_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n{f(x_{k-1}) \ (\displaystyle\frac{b-a}{n})}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}{f(x_k) \ (\displaystyle\frac{b-a}{n})} \)


\( S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n{f(x_{k}) \ (\displaystyle\frac{b-a}{n})} \)


\( T_n-S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}{f(x_k) \ (\displaystyle\frac{b-a}{n})}-\displaystyle\sum_{k=1}^n{f(x_{k}) \ (\displaystyle\frac{b-a}{n})}=(f(x_0)-f(x_n))(\displaystyle\frac{b-a}{n})=(f(a)-f(b))(\displaystyle\frac{b-a}{n}) \)

En consecuencia la Inec 1 adopta la forma :

\( 0\leq{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx-S_n}\leq{(f(a)-f(b))(\displaystyle\frac{b-a}{n})}, \ \ \forall{n}\in{Z^+} \)

Aplicando el límite cuando \( n\rightarrow{\infty} \) se tiene \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx-S_n}=0 \) y finalmente se deduce que \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{S_n}=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \ dx \)

De una manera semejante se demuestra la otra parte

Saludos

Nota : Es válido utilizar el concepto de integral para una función de una variable en general

12
Hola

Enuncio un problema cuya segunda parte, los criterios que utilizo los han tachado de rebuscados e inconvenientes, se esta hablando de análisis matemático I, derivadas, integrales, sucesiones, series e inclusive convergencia uniforme, etc, tengo poco tiempo, por eso lo voy a esbozar y mañana lo detallo.

Dada la serie de potencias complejas : \( S_n(z)=\displaystyle\sum_{k=1}^n{(-1)^k \ \displaystyle\frac{2^{2k} \ z^{2k}}{2k}} \) determinar :

1) Radio de convergencia

2) Comportamiento de la serie en la circunferencia de convergencia.

El primer punto esta resuelto y aceptado, el radio de convergencia es \( \displaystyle\frac{1}{2} \)

En el segundo punto he utilizado, el criterio de Dirichlet para la convergencia de series complejas. Particularmente lo considero aceptable para el nivel I; pero si hay alguna alternativa más básica bienvenida sea.

Mañana detallo lo que he realizado, pero ya pueden ir preparando alguna idea.

Saludos y Gracias

13
Propuestos por todos / MOVIDO: Ejercicio de física - MAS
« en: 08 Julio, 2019, 04:40 am »
El tema ha sido movido a Temas de física. Es un problema de física

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=104422.0

Páginas: [1]