Autor Tema: Soluciones Linealmente independientes

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23 Mayo, 2014, 09:21 pm
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aura

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Espero puedan explicarme paso a paso como podría resolver el siguiente problema. De antemano gracias.

Si las funciones \( y_1 \ y \ y_2 \), son soluciones linealmente independientes (en el intervalo I) de
\(  y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=0 \)

Demostrar que \( y_3=y_1+y_2 \)  y \( y_4=y_1-y_2 \) también forman un conjunto linealmente independiente de soluciones. Ademas demostrar que estas también son solución a la ecuación anterior.

28 Mayo, 2014, 04:40 am
Respuesta #1

aura

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¿Algún hint de que puedo hacer o que puedo utilizar para hacer la demostración?

28 Mayo, 2014, 05:56 am
Respuesta #2

ingmarov

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Bueno una opción podría ser sustituir y3 en la ecuación diferencial.

\( \displaystyle (y_1+y_2)^{\prime\prime}+p(x)(y_1+y_2)^{\prime}+q(x)(y_1+y_2)=0 \)

Como la derivada es un operador lineal:

\( \displaystyle (y_1^{\prime\prime}+y_2^{\prime\prime})+p(x)(y_1^{\prime}+y_2^{\prime})+q(x)(y_1+y_2)=0 \)

Por Propiedad Distributiva

\( \displaystyle y_1^{\prime\prime}+y_2^{\prime\prime}+p(x)y_1^{\prime}+p(x)y_2^{\prime}+q(x)y_1+q(x)y_2=0 \)

Ahora agrupando

\( \displaystyle (y_1^{\prime\prime}+p(x)y_1^{\prime}+q(x)y_1)+(y_2^{\prime\prime}+p(x)y_2^{\prime}+q(x)y_2)=0 \)

Como \( y_1 \) y \( y_2 \) son soluciones, esta última ecuación demuestra que la suma de ellas también es solución.
Los dos grupos encerrados por paréntesis no son más que la ecuación diferencial original.
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

29 Mayo, 2014, 06:04 am
Respuesta #3

aura

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