Hola
Buenas aquí de nuevo con el siguiente planteamiento.
Sea \( \left(X ,\mathscr{F}\right) \) un espacio medible. Sean \( \lbrace f_n \rbrace_{n\in \mathbb{N}} \) funciones medibles y sean \( \lbrace A_n\rbrace_{n\in \mathbb{N}}\subseteq \mathscr{F} \) conjuntos medibles tales que \( \displaystyle\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n=X \). Suponga que
\( f_i \mid_{A_i\cap A_j} = f_j \mid_{A_i\cap A_j} \) \( \forall i,j\in \mathbb{N} \)
Pruebe que si definimos \( f(x)\overset{\text{(def)}}{=} f_n(x) \) si \( x\in A_n \). Entonces \( f \) esta bien definida y es medible.
En cuanto a la buena definición, uno podría preguntarse ¿y porqué no habría de estar bien definida?. Pues el problema está que en la definición se hace una elección; dado un \( x \) se elige un \( A_n \) tal que \( x\in A_n \) y entonces se toma \( f(x)=f_n(x) \). Pero, ¿y si también \( x\in A_m \) con \( n\neq m \)?. Entonces también podríamos tomar \( f(x)=f_m(x). \) Si los valores obtenidos son diferentes la definición es ambigua, incorrecta.
Pero la hipótesis \( f_i \mid_{A_i\cap A_j} = f_j \mid_{A_i\cap A_j} \) garantiza que si \( x\in A_n\cap A_m \) entonces \( f_n(x)=f_m(x). \)
Para ver que es comprueba que:
\( f^{-1}(U)=\displaystyle\bigcup_{n\in \Bbb N}(f_n^{-1}(U)\cap A_n) \)
y usa que la intersección y unión finita y/o numerable de medibles es medible.
Saludos.
