Hola.
Sea \( F \) una extensión de un cuerpo \( K \) y sea \( \alpha \in{F} \).
Si \( \alpha \) es algebraico sobre \( K \), \( F(\alpha) \) es el menor subcuerpo de \( F \) que contiene a \( K \) y a \( \alpha \), y sus elementos son de la forma \( a_0+a_1 \alpha+ \cdots a_n {\alpha}^n \), con \( n \) el grado de la extension.
Si \( \alpha \) es trascendente sobre \( K \), \( F(\alpha) \) es un subcuerpo de \( F \) que contiene a \( K \) y a \( \alpha \), y sus elementos no nulos son fracciones de elementos de la forma \( a_0+a_1 \alpha+ \cdots a_n {\alpha}^n \), es decir, \( \alpha \) se comporta como una indeterminada sobre \( K \). Esto último seria el cuerpo de funciones racionales, \( K(X) \), sobre el cuerpo \( K \).
Por ejemplo, \( \mathbb{C}=\mathbb{R}(i) \), ya que \( i \) es algebraico sobre \( \mathbb{R} \).
El cuerpo de funciones racionales sobre \( \mathbb{R} \) es:
\( \mathbb{R}(X)= \{ \frac{f(X)}{g(X)}:g(X)\neq 0 \}\ \), con \( f(X) \) y \( g(X) \) polinomios en la indeterminada \( X \) con coeficientes en \( \mathbb{R} \). Esta "indeterminada" es producida por el elemento trascendental sobre \( \mathbb{R} \) perteneciente a la extension \( F \) de \( \mathbb{R} \) en cuestion, pero cual es esta extension \( F \)?.
Como se construye el cuerpo de funciones racionales sobre el cuerpo de los reales \( \mathbb{R} \)?.
Para ello, tendriamos que tener una extensión \( F \) de \( \mathbb{R} \) y un elemento \( \alpha\in F \) que fuera trascendente sobre \( \mathbb{R} \).
\( \mathbb{C} \) no puede ser porque todos los complejos son algebraicos sobre \( \mathbb{R} \).
Besos.
