Hola.
Sea \( \mathbb{F}_q \) un cuerpo y \( \mathbb{F}^*_{q-1} \) su grupo multiplicativo.
Estoy tratando de entender que, para cualquier elemento \( a\in{\mathbb{F}^*_{q-1}} \), tenemos que \( a^{q-1}=1 \).
Supongamos que el orden de un elemento \( a\in{\mathbb{F}^*_{q-1}} \) es \( n \), con \( n<q-1 \).
Por la definicion de orden de un elemeto, tenemos que \( a^n=1 \).
Ademas, tenemos que, por el Teorema de Lagrange, \( n \) divide a \( q-1 \), es decir, existe \( k\in{\mathbb{N}} \) tal que \( q-1=kn \).
Por lo tanto, \( a^{q-1}=a^{kn}=(a^n)^k=1^k=1 \).
Es esto correcto?.
Es rigurosa la demostracion o falta algun detalle?.
Besos.
