[conchivgr]

Hola.

Sea \( R \) un anillo, y sea \( A(X) \) el anillo de coordenadas de la variedad \( X \) y \( P=I(a) \) el ideal maximal de un punto \( a\in{X} \). La localización \( R_P \) es el anillo de funciones locales de \( X \) en el punto \( a \), el cual es un anillo local.

Por definición, un anillo es local si tiene exactamente un ideal maximal.

Sea \( R=\mathbb{R}[x,y]/(xy) \) y \( P=(x-1) \). He demostrado que el ideal \( P \) es un ideal maximal de \( R \) (no es complicado, corresponde a un punto).

Me piden que demuestre que \( R_P \) es isomorfo a \( \mathbb{R}\left[ x \right]_{(x-1)} \) y que diga cuál es su interpretación geométrica.

No me interesa tanto, de momento, la demostración formal de que son isomorfos. Me interesa ahora mucho más la intuición de por qué el anillo local del cociente del anillo de polinomios en dos indeterminadas \( x \) e \( y \) por el ideal \( (xy) \) es isomorfo al anillo local del anillo de polinomios en una indeterminada \( x \) en el ideal \( (x-1) \).

El cociente \( R=\mathbb{R}[x,y]/(xy) \) son los restos de los polinomios en \( x \) e \( y \), al dividirlos por los polinomios del ideal \( (xy) \), que es el ideal formado por los mútiplos de la variedad formada por la unión de los ejes de coordenadas del plano.

Por lo tanto, \( R_P \) será el anillo local de las funciones en \( X \) en el punto \( a \).

Por otro lado, igualmente, \( \mathbb{R}\left[ x \right]_{(x-1)} \) es el anillo local de funciones en \( X \) en el punto \( a \).

Pero uno está definido en el conjunto cociente por un ideal de polinomios en dos indeterminadas, y el otro en el anillo completo de polinomios en una indeterminada.

Como es que son isomorfos? y, cuál es la interpretación geométrica de este hecho?.

Besos.

[conchivgr]

Hola.

Trataré de responderme a mi misma.

En cuanto al isomorfismo, tenemos que el ideal \( (xy) \) es el ideal formado por la variedad que representa la unión de los ejes coordenados del plano, por lo que:

\( R=\mathbb{R}[x,y]/(xy)=\mathbb{R}[x,y]/(y) \cong \mathbb{R}\left[ x \right] \), ya que el ideal \( (y) \) representa los múltiplos de los polinomios que se anulan en la función \( y \), es decir \( y=0 \).

La interpretación geométrica es la siguiente:

\( \mathbb{R}[x,y]/(xy) \) es el anillo de polinomios en una indeterminada, \( x \), que representa "la recta real" embebida en el plano \( xy \), es decir, la variedad de inicio ambiente es el plano pero "cogemos" el eje horizontal.

\( \mathbb{R}\left[ x \right] \) es el anillo de polinomios de toda la vida, cuya variedad de inicio es la recta real.

Los anillos locales en ambos son, obviamente, isomorfos.

Besos.

Besos.

[geómetracat]

Lo que has puesto en tu segundo mensaje no está bien. En particular esto:

\( R=\mathbb{R}[x,y]/(xy)=\mathbb{R}[x,y]/(y) \cong \mathbb{R}\left[ x \right] \), ya que el ideal \( (y) \) representa los múltiplos de los polinomios que se anulan en la función \( y \), es decir \( y=0 \).

es falso. \( \mathbb{R}[x,y]/(xy) \) no es isomorfo a \( \Bbb R\left[x\right] \). Una manera de verlo que no pueden ser isomorfos es observar que \( \mathbb{R}\left[x\right] \) es un dominio de integridad, mientras que \( \Bbb R[x,y]/(xy) \) no lo es, ya que \( xy=0 \) pero \( x,y \neq 0 \).

La idea geométrica viene a ser la siguiente. El anillo \( R=\Bbb R[x,y]/(xy) \) es el anillo de funciones definidas en la unión de los dos ejes del plano. El anillo de las funciones definidas en el eje x (que es la vatiedad que corresponde a \( y=0 \)) es \( \Bbb R[x,y]/(y) \cong \Bbb R\left[x\right] \).

Puedes pensar el anillo local \( R_{(x-1)} \) como el anillo de las funciones que están definidas en algún entorno (abierto de Zariski) del punto, donde identificas dos funciones si estas coinciden en un entorno del punto (a esto se le llama gérmenes de funciones). Como el eje de las \( x \) es un abierto de Zariski de la unión de los dos ejes, cualquier función definida en algún abierto de Zariski en la variedad original (la unión de los dos ejes) está identificada con alguna función definida en un abierto de Zariski del eje de las \( x \). Esta es la idea: el anillo local no depende de la variedad sino únicamente de los entornos de un punto.

No sé si me he explicado muy bien. Si tienes dudas pregunta.

Más tarde si quieres te pongo una justificación algebraica del isomorfismo que te piden.

[conchivgr]

Hola.

Muchas gracias por la respuesta.

Si te apetece poner la justificación por mí encantada.

Besos.

[geómetracat]

Hay varias maneras de ver el isomorfismo (puedes intentar dar isomorfismos explícitos).

Una manera es usar que cocientes y localizaciones conmutan, de manera que:
\( R_{(x-1)} \cong \frac{\Bbb R[x,y]_{(x-1)}}{(xy)\Bbb R[x,y]_{(x-1)}} \).

Ahora, fíjate que \( x \) es invertible en \( \Bbb R[x,y]_{(x-1)} \) y por tanto \( (xy)\Bbb R[x,y]_{(x-1)} = (y)\Bbb R[x,y]_{(x-1)} \).
Por tanto, \(  \frac{\Bbb R[x,y]_{(x-1)}}{(xy)\Bbb R[x,y]_{(x-1)}} \cong \frac{\Bbb R[x,y]_{(x-1)}}{(y)\Bbb R[x,y]_{(x-1)}} \cong \left( \frac{\Bbb R[x,y]}{(y)} \right)_{(x-1)} \cong \Bbb R\left[x\right]_{(x-1)} \).

[conchivgr]

Hola.

Buf, a esto si que le tengo que dar una vuelta.

Muchas gracias.

Besos.

[geómetracat]

Es una manera bastante "limpia" de demostrar el isomorfismo, pero déjame darte un poco más de intuición algebraica y geométrica que tal vez te sea más útil.

Fíjate que tu variedad es la unión de los dos ejes del plano. Al localizar en \( (x-1) \) te estás fijando en un punto sobre el eje de las \( x \) que no está en el eje de las \( y \). Por tanto, la coordenada \( y \) debería ser \( 0 \) en el anillo local.

En efecto así es. Por definición de localización, tienes que \( y/1 = 0 \) en \( R \) si existe un \( s \in R - (x-1) \) tal que \( sy=0 \). Como \( x \notin (x-1) \) y \( xy=0 \), tienes que en efecto \( y=0 \) en el anillo \( R_{(x-1)} \).

Ahora bien, los elementos de \( R_{(x-1)} \) son fracciones de la forma \( f(x,y)/g(x,y) \) con \( f,g \in R \) y \( g \notin (x-1) \), que los puedes ver como (clases de) polinomios en las variables \( x,y \). Pero como en ese anillo \( y=0 \), de hecho cada una de esas fracciones es igual a la fracción \( f(x,0)/g(x,0) \) que es un cociente de polinomios en la variable \( x \) con el denominador fuera del ideal \( (x-1) \). Pero esto último es precisamente la descripción del anillo \( \Bbb R\left[x\right]_{(x-1)} \).

Espero que esto te ayude un poco más a visualizar el isomorfismo de manera algebraica.

[conchivgr]

Hola.

Muchas gracias por la respuesta, esta muy bien explicado pero tengo que releerlo varias veces para entenderlo bien.

Gracias de nuevo, si no es por vosotros no apruebo ni una .

Besos.