Hola.

Demostrando que las geodesicas en el plano medio de Poncaire de la geometria hiperbolica, llego a que la distancia entre dos puntos no alineados siguiendo una camino que los une es siempre mayor que:

$$\int_{\alpha}^{\beta}\frac{d\theta}{sin \theta}$$

Resulta que el resultado es:

$$\int_{\alpha}^{\beta}\frac{d\theta}{sin \theta}=Ln\frac{cosec \beta - cotg \beta}{cosec \alpha - cotg \alpha}$$

Esa longitud entre los dos puntos en la circunferencia euclidea que los une.

Pero, alguien podria indicarme o esbozarme como se soluciona esa integral, para que de resultados en funcion de la cosecante y la cotangente?.

$$\int_{\alpha}^{\beta}\frac{d\theta}{sin \theta}$$

Besos 

Hola.

Estoy estudiando los automorfimos en la esfera de Riemann y los grupos "especiales" que salen de varios homorfismos.

El principio lo entiendo perfectamente, es casi al final donde no logro entender

Los automorfismos de la esfera de Riemann $$Aut(\sum_{})$$ consisten en las funciones $$T(z)=\frac{az+b}{cz+d}$$ tales que $$a,b,c,d\in{\mathbb{C}}$$ y $$ad-bc\neq0$$.

Sea $$GL(2,\mathbb{C})$$ el Grupo General Lineal consistente en las matrices complejas $$2x2$$, $$M=\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}$$ tales que $$det(M)\neq0$$.

Sea ahora el homomorfismo $$\theta:GL(2,\mathbb{C})\longrightarrow{Aut(\sum_{})}$$. El kernel $$K$$ de este homomorfismo son las matrices $$M=\begin{pmatrix}{\lambda}&{0}\\{0}&{\lambda}\end{pmatrix}, \lambda \neq 0$$.

Por lo tanto, dos matrices $$M,N\in{GL(2,\mathbb{C})}$$ representan el mismo automorfismo si y solo si $$M=\lambda M$$ para algun $$\lambda\neq0$$.

Si ahora aplicamos el Primer Teorema de Ismorfismo, tenemos que $$Aut(\sum_{})\cong GL(2\mathbb{C})/K$$. El grupo $$GL(2,\mathbb{C})/K$$ se denomina Grupo General Proyectivo Lineal, $$PGL(2,\mathbb{C})$$.

Constrimos ahora el homomorfismo $$det:GL(2,\mathbb{C})\longrightarrow{\mathbb{C}-{0}}$$, el determinante. Ahora, el kernel de este homomorfismo son las matrices $$M\in{GL(2,\mathbb{C})}$$ tales que $$det(M)=1$$, y se denomina Grupo Especial Lineal $$SL(2,\mathbb{C})$$.

Aplicando de nuevo el primer teorema de isomorfismo, tenemos que $$GL(2,\mathbb{C})/SL(2,\mathbb{C})\cong \mathbb{C}-{0}$$.

(1) Este cociente no le entiendo, no se como se identifican dos matrices. El primer cociente le entiendo, pero este no.

Ahora, copio literalmente lo que pone el libro, que es lo que ya me pierdo.

(2) "Si $$N\in{GL(2,\mathbb{C})}$$, Entonces podemos escribir $$N= \lambda M$$, donde $$\lambda^2+det(N)$$ y $$M\in{SL(2,\mathbb{C})}$$". No entiendo por que el determinante de $$N$$ es lambda al cuadrado ni por que $$M$$ pertenece a $$SL(2,\mathbb{C})$$.

(3) "De forma equivalente, $$\theta$$ mapea $$SL(2,\mathbb{C})$$ en $$Aut(\sum_{})$$. Por lo tanto, $$PGL(2,\mathbb{C})$$ coincide con el Grupo Especial Proyectivo Lineal $$PSL(2,\mathbb{C})$$, que es la imagen  de $$SL(2,\mathbb{C})$$ en el grupo cociente $$PGL(2,\mathbb{C})/K$$". No he entendido nada de esto ultimo.

Con entender el cociente de (1) (2) me vale, a la ultima frase le puedo dar luego una vuelta yo.

Besos 

Hola.

Me he encontrado con una proposicion y tengo alguna duda sobre ella.

Sea $$a$$ una sigularidad aislada de una funcion compleja $$f(z)$$. Si existe un $$M$$ tal que $$\left |{f(z)}\right |\leq{M}$$, entonces, todos los coeficientes $$\left |{c_{-n}}\right |=0$$ en la expansion en series de Laurent de $$f(z)$$.

Demostracion: por la desigualdad de Cauchy, $$\left |{c_{n}}\right |\leq{\frac{M}{\gamma^{n}}}$$ para $$0<\gamma<1$$. Por lo tanto, $$c_{n}=0$$ para todo $$n<0$$.

La demostracion es muy corta, pero aun asi tengo dos dudas.

La primera es, por que $$0<\gamma<1$$?. Yo creo que deberia ser $$0<\gamma<r$$, ya que $$f$$ es holomorfa en $$\{z\in{\mathbb{C}}:0<\left |{z-a}\right |<r\}$$.

La segunda, de la desigualdad de Cauchy y de que $$n<0$$, se deriva el resultado directamente?.

Es decir, si $$n<0$$, la desigualdad de Cauchy queda $$\left |{c_{-n}}\right |\leq{\frac{M}{\gamma^{-n}}}=M\gamma^n$$.

No veo como de aqui, $$\left |{c_{-n}}\right |=0$$ para todo $$n<0$$.

Besos. 

Hola. Me piden calcular la siguiente integral usando la Fórmula Integral de Cauchy, y me surgen dos dudas al final:

Calcular $$\int_{C}\frac{e^z}{z-2}dz$$. Dependiendo de la curva $$C$$, por la Fórmula Integral de Cauchy, tenemos que, si $$R$$ es la región encerrada por la curva:

$$\int_{C}\frac{e^z}{z-2}dz=2ie^2\pi$$ si $$2\in{R}$$
$$\int_{C}\frac{e^z}{z-2}dz=0$$ si $$2\not\in{R}$$

Pero, qué ocurre si $$2\in{C}$$?. Qué ocurre si el punto está en la propia curva?.

Por otro lado, se incide en que la Fórmula Integral de Cauchy permite saber los valores de la función dentro de la región $$R$$, si se conocen los valores de la función en la propia curva.

A qué se refiere con esto?. A que en el integrado el numerador $$f(z)$$ se evalúa en puntos de la propia curva?.

Besos. 

Hola.

Sabemos que si $$F$$ es un cuerpo, tenemos que $$F[X]/(x^2+1)$$ es un cuerpo isomorfo al cuerpo de los números complejos $$\mathbb{C}$$. Pero, en que sentido?.

Es decir, el cuerpo $$F[X]/(x^2+1)$$ es isomorfo a $$F(X)$$, por el Primer Teorema de Isomorfismo, cada elemento se escribe de la forma $$ax+b$$ con $$a$$ y $$b$$ reales.

Identificamos cada punto del plano complejo con cada punto del plano real, pero

cual es el isomorfismo y en que sentido son isomorfos?.

Es decir, los números complejos son un cuerpo, pero los puntos del plano real no.

Besos.

Hola.

Sea \( E \) un cuerpo de extension de \( F \) y \( \alpha \in{E} \). Entonces \( \alpha \) es trascendente sobre \( F \) si y solo si \( F(\alpha) \) es isomorfo a \( F(x) \), el cuerpo de fracciones de \( F[X] \).

La demostracion del teorema la comprendo, pero hay un paso, que ademas aparece en varios teoremas que no entiendo. La demostracion empieza por el homomorfismo evaluacion en \( \alpha \):

\( {\phi}_{\alpha}:F[X]\rightarrow{E} \).

Entonces \( \alpha \) es trascendente sobre \( F \) si y solo si \( {\phi}_{\alpha}(p(X))=p(\alpha)\neq 0 \) para todo polinomio no constante \( p(X)\in{F[X]} \), y esto es verdadero si y solo si \( ker_{{\phi}_{\alpha}}=0 \). Y dice: esto sucede cuando \( {\phi}_{\alpha} \) es \( 1-1 \).

Que yo sepa, eso sucede cuando \( {\phi}_{\alpha} \) es inyectivo. Esta dando por sentado entonces que el homomorfismo evaluacion es sobreyectivo?. Esto es asi para cualquier cuerpo y su extension?. Es siempre el homomorfismo evaluacion sobreyectivo?.

Besos. 

Hola.

Sea \( F \) una extensión de un cuerpo \( K \) y sea \( \alpha \in{F} \).

Si \( \alpha \) es algebraico sobre \( K \), \( F(\alpha) \) es el menor subcuerpo de \( F \) que contiene a \( K \) y a \( \alpha \), y sus elementos son de la forma \( a_0+a_1 \alpha+ \cdots a_n {\alpha}^n \), con \( n \) el grado de la extension.

Si \( \alpha \) es trascendente sobre \( K \), \( F(\alpha) \) es un subcuerpo de \( F \) que contiene a \( K \) y a \( \alpha \), y sus elementos no nulos son fracciones de elementos de la forma \( a_0+a_1 \alpha+ \cdots a_n {\alpha}^n \), es decir, \( \alpha \) se comporta como una indeterminada sobre \( K \). Esto último seria el cuerpo de funciones racionales, \( K(X) \), sobre el cuerpo \( K \).

Por ejemplo, \( \mathbb{C}=\mathbb{R}(i) \), ya que \( i \) es algebraico sobre \( \mathbb{R} \).

El cuerpo de funciones racionales sobre \( \mathbb{R} \) es:

\( \mathbb{R}(X)= \{ \frac{f(X)}{g(X)}:g(X)\neq 0 \}\ \), con \( f(X) \) y \( g(X) \) polinomios en la indeterminada \( X \) con coeficientes en \( \mathbb{R} \). Esta "indeterminada" es producida por el elemento trascendental sobre \( \mathbb{R} \) perteneciente a la extension \( F \) de \( \mathbb{R} \) en cuestion, pero cual es esta extension \( F \)?.

Como se construye el cuerpo de funciones racionales sobre el cuerpo de los reales \( \mathbb{R} \)?.

Para ello, tendriamos que tener una extensión \( F \) de \( \mathbb{R} \) y un elemento \( \alpha\in F \) que fuera trascendente sobre \( \mathbb{R} \).

\( \mathbb{C} \) no puede ser porque todos los complejos son algebraicos sobre \( \mathbb{R} \).

Besos.

Hola.

Consideramos la variedad \( V( (X^3-Y^2) ) \) en un cuerpo \( K \).

Si el cuerpo \( K \) tiene caracteristica \( 0 \) tenemos que el ideal

\( I(V(X^3-Y^2))=(X^3-Y^2) \), por lo que el anillo de coordenadas es

\( \Gamma( V( (X^3-Y^2) ) )= K[X,Y]/(X^3-Y^2) \).

Sin embargo, si \( K=\mathbb{F}_2 \) tenemos que

\( \Gamma( V( (X^3-Y^2) ) )= \mathbb{F}_2[X,Y]/(X+Y,Y^2+Y)=\mathbb{F}_2[Y]/(Y^2+Y)+\mathbb{F}_2 \times{} \mathbb{F}_2 \).

Por favor, me pueden aclarar la ultima linea, cuando el cuerpo es el cuerpo de dos elementos?.

No entiendo por que el ideal \( (X^3-Y^2)  \) se convierte en el ideal \( (X+Y,Y^2+Y) \), ni por que concluye que el anillo de coordenadas es el producto de dos copias de \( \mathbb{F}_2 \).

Besos.

Hola.

Sabemos que si un cuerpo \( K \) es finito, entonces tiene caracteristica prima \( p \).

Sin embargo, el reciproco no es en general cierto.

Podria alguien darme un ejemplo de un cuerpo con caracterisitica prima y que sea infinito?.

Besos.

Hola.

Sea \( R \) un anillo, y sea \( A(X) \) el anillo de coordenadas de la variedad \( X \) y \( P=I(a) \) el ideal maximal de un punto \( a\in{X} \). La localización \( R_P \) es el anillo de funciones locales de \( X \) en el punto \( a \), el cual es un anillo local.

Por definición, un anillo es local si tiene exactamente un ideal maximal.

Sea \( R=\mathbb{R}[x,y]/(xy) \) y \( P=(x-1) \). He demostrado que el ideal \( P \) es un ideal maximal de \( R \) (no es complicado, corresponde a un punto).

Me piden que demuestre que \( R_P \) es isomorfo a \( \mathbb{R}\left[ x \right]_{(x-1)} \) y que diga cuál es su interpretación geométrica.

No me interesa tanto, de momento, la demostración formal de que son isomorfos. Me interesa ahora mucho más la intuición de por qué el anillo local del cociente del anillo de polinomios en dos indeterminadas \( x \) e \( y \) por el ideal \( (xy) \) es isomorfo al anillo local del anillo de polinomios en una indeterminada \( x \) en el ideal \( (x-1) \).

El cociente \( R=\mathbb{R}[x,y]/(xy) \) son los restos de los polinomios en \( x \) e \( y \), al dividirlos por los polinomios del ideal \( (xy) \), que es el ideal formado por los mútiplos de la variedad formada por la unión de los ejes de coordenadas del plano.

Por lo tanto, \( R_P \) será el anillo local de las funciones en \( X \) en el punto \( a \).

Por otro lado, igualmente, \( \mathbb{R}\left[ x \right]_{(x-1)} \) es el anillo local de funciones en \( X \) en el punto \( a \).

Pero uno está definido en el conjunto cociente por un ideal de polinomios en dos indeterminadas, y el otro en el anillo completo de polinomios en una indeterminada.

Como es que son isomorfos? y, cuál es la interpretación geométrica de este hecho?.

Besos.