Una nueva ocurrencia que someto a vuestra consideración.
La ecuación \( m^3=a^3+b^3 \)tiene en números reales y positivos las soluciones obvias no nulas \( a=b=\displaystyle\frac{m}{2^{1/3}} \).
Como \( m \) es el mayor de la terna solución, si \( a>b \), será \( m>a>b \) y \( a>\displaystyle\frac{m}{2^{1/3}} \), de modo que los posibles valores del entero \( a \) que resuelven la ecuación, dado \( m \) , son los del intervalo \( \displaystyle\frac{m}{2^{1/3}}<a<m \).
El menor entero \( a \) mayor que\( \displaystyle\frac{m}{2^{1/3}} \), es el mayor entero \( c \) contenido en \( \displaystyle\frac{m}{2^{1/3}} \) que es el cociente de la división de \( m \) por \( {2^{1/3}} \) que deja resto \( r \) inferior a \( {2^{1/3}} \) y verifica la ecuación \( m={2^{1/3}}c+r \), en la que es \( r\ne1 \).
Los enteros \( a \) serán de la forma \( c+j \), es decir, los coeficientes de las divisiones por exceso de \( m \) por \( {2^{1/3}} \) que satisfacen las ecuaciones, con \( j \) entero positivo,
\( m={2^{1/3}}(c+j)+r_j \)
donde los residuos son negativos, no enteros, superiores en valor absoluto a \( {2^{1/3}} \) y guardan entre sí la relación \( r_j-r_k=j-k){2^{1/3}} \).
De esta relación se obtiene \( a=c+j=\displaystyle\frac{m-r_j}{2^{1/3}} \), de donde, \( 2{a^3}={(m-r_j)^3} \) y será divisible por 2 el número \( m-r_j \) que no es entero y por tanto la ecuación \( m^3= a^3+b^3 \) no tiene solución en enteros positivos.
Saludos cordiales.