[javier m]

Hola a todos.

Tengo esta duda: Si una función \( f: \mathbb{R} \to  \mathbb{R}   \) es diferenciable en un punto, ¿es también diferenciable en alguna vecindad del punto?

Gracias por la atención.

[Juan Pablo Sancho]

Editado

En general no pasa eso.

Un contraejemplo:

\(  f(x) = \begin{cases}  x^2   & \text{para} & x \in \mathbb{Q} \\ -x^2   & \text{para} & x \in   \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}  \)

Sólo es derivable en \(  x = 0  \)

[javier m]

Muchas gracias  , y sólo por curiosidad: si la función \( f \) es continua será que si se tiene el resultado?

[Juan Pablo Sancho]

Ostras me pillaste te meto este monstruo.

\(  g(x) = x^2 \cdot K(x)  \)

Donde \(  k  \) es la función de Weierstrass

Espera a una revisión mejor.

[Juanq]

Holas lo q dices es falso, solo seria diferenciable en el punto, no es alguna vecindad, y no pasa nada si es continua en ese punto, ese dato es insuficiente .

[Juan Pablo Sancho]

Creo que Javier  m supone continua en una vecindad del punto.

[javier m]

Ostras me pillaste te meto este monstruo.

\(  g(x) = x^2 \cdot K(x)  \)

Donde \(  k  \) es la función de Weierstrass

Espera a una revisión mejor.

Usshh! Señor Juan Pablo, usted es diabólico.