Todas las demostraciones que usan digitos presuponen una nocion de continuidad o de convergencia que no tiene por qué ser intuitiva para un alumno de 14 años.
Según mi opinión, la solución correcta a esta controversia proviene de considerar el origen histórico de los números reales, a saber, como un sistema numérico compatible con la noción de línea recta.
Antes que el sistema de números reales y su representación decimal, historicamente se inventó, por los griegos, la geometría de los puntos y líneas rectas, etc., formalizada por Euclides.
Si nos fijamos bien, a lo largo de la historia de los fundamentos de las matemáticas, lo que se ha buscado es que el sistema de los números reales, sea lo que fuere, se lo formalice como se formalice, siempre se tuvo cuidado de que sea equivalente al sistema geométrico de la línea recta euclidiana.
Lo que se puede hacer es presuponer que el alumno tiene una clara intuición de lo que es una línea línea recta. Sobre una línea recta se comienzan a trazar puntos, para ir formando la RECTA NUMERICA.
En primer lugar se definen el 0 y el 1, ciuyos puntos forman la unidad. A continuación se definen los siguientes numeros naturales 2, 3, 4, 5, 6, ..., por traslacion de unidades sobre la recta. Luego se hace lo mismo con los enteros negativos en la otra dirección.
A continuación, se fracciona la unidad en una cantidad de partes definidas, formando una unidad fraccionaria, digamos, un medio, un tercio, etcetera.
Si tomamos cada una de estas unidades fraccionarias, y las trasladamos por toda la recta, obtenemos todos los números llamados RACIONALES.
Luego se hace uno la pregunta: ¿es cierto que todos los números racionales llenan la línea recta? O bien, ¿es cierto que a todo punto de la recta le corresponde un número racional?
Uno construye sobre el segmento unidad, un cuadrado de longitud 1, y traza su diagonal desde el origen. Con el compás traza la circunferencia de radio igual ala diagonal, y eso determina un punto R en la recta numérica.
¿Corresponde R a un número fraccionario?
Se puede argumentar de alguna manera o varias maneras que no. Elige la que mas te guste.
Entonces has mostrado que los numeros fraccionarios no llenan la recta numérica.
Debe haber más puntos en la recta.
Por otro lado, ¿qué es un número con decimales? No es una simple secuencia de digitos. Por ejemplo, el número \( \pi \), cuyos decimales son
3,141592653589... es un intento de especificar que punto le corresponde en la recta. O sea, se está tratando de efectuar una MEDICION DEL SEGMENTO que va desde el origen O de la recta hasta el punto que corresponde a \( \pi \).
En ese caso, tenemos 3 unidades enteras, 1 decimo, 4 centesimos, 1 milesimo, 5 diezmilesimos, y asi sucesivmente.
Otro ejemplo: Cuando trazamos la diagonal del cuadrado, y la llevamos con el compás a la RECTA NUMERICA, y tratamos de medirla, nos vemos obligados a ir usando una secuencia sin fin de digitos: 1,4142135..., porque nos vamos aproximando con las sucesivas subunidades de medida, tratando de llegar a MEDIR la diagonal, y esto significa decir ''cuantas unidades u subunidades debo usar para medir exactamente un segmento''. (''Cuántas'' se refiera a numeros enteros 1, 2, 3, 4, o sea, numeros de contar, que son mas manejables para el ser humano).
Entonces el número decimal 3,1415926535... es sólo una REPRESENTACION MEDIANTE DIGITOS de un PUNTO ESPECIFICO de la recta numérica, o bien de la MEDIDA DEL SEGMENTO DE O a \( \pi \).
Un hecho importante antes de seguir, es que a todo punto en la recta numérica le corresponde, por suerte, al menos una representación por digitos decimales, finita o infinita, periodica o no.
Por otro lado, a cada lista de digitos como 1,4142135... le corresponde algún punto específico en la recta (y solamente uno).
Ahora bien, debe quedar claro que lo que en realidad importa es el PUNTO EN LA RECTA. Y la noción de número \( \pi \) no es la representación en decimales, sino la MEDIDA DEL SEGMENTO de O a \( \pi \). Eso es algo abstracto, pero bueno, es una cuestion geométrica precisa: dos segmentos miden igual si el trasladado de uno sobre el otro hace que coincidan. Similarmente se puede definir segmentos que son mas pequeños que otros.
El NUMERO es en realidad EL PUNTO SOBRE LA RECTA, y no la REPRESENTACION POR DECIMALES.
Debe quedar claro, de alguna manera, que un números es algo abstracto, y que los digitos son solo una de las tantas formas de representarlos.
Lo que ocurre es que LAS REPRESENTACIONES DE LOS OBJETOS NO SIEMPRE SE CORRESPONDEN 1 a 1 CON LOS OBJETOS MISMOS.
Por ejemplo, es claro que el número 5 reprsenta el concepto de un conjunto con 5 objetos, y que 5 significa ''todo aquello que puedo equiparar con la lista 1, 2, 3, 4, 5''. La nocion de conjunto de 5 elementos es NO-AMBIGUA.
Sin embargo, el 5 lo puedo representar de infintas maneras usando digitos:
5
05
000005
5,0000000000000000000
La representación de un número es AMBIGUA.
Por último, ¿qué pasa con 1,99999...?
Bueno, como ocurre con muchas representaciones de objetos, la REPRESENTACION DEL NUMERO NO ES EL NUMERO.
Si tratamos de decir qué número representa 1,999999... tenemos que ir a la línea recta y preguntar ¿Qué punto le corresponde en la recta numérica a 1,999999...?
Bueno, es el punto que se obtiene al avanzar 1 unidad desde el origen, luego 9 decimas, 9 centesimas, 9 milesimas, etc. Supongamos que este punto lo marcamos con P. Después nos preguntamos qué tan cerca está del punto 2,00000000000000...
Marcamos a este punto con Q.
¿Puede haber un punto en la recta entre P y Q?
SUPONGAMOS que lo hubiera. Llamemos X a ese punto hipotetico e intermedio entre P y Q.
Si mostramos que no hay una representacion para ese punto X, entonces es que ese punto en realidad no existia.
En tal caso, como hemos dicho que todo punto tiene una representacion por digitos, ¿cual seria una posible representacion decimal de X?
¿Cuanto mide el segmento PQ? Hay que hacer la resta. ¿La resta cuanto da? ¿Da más que 0? Si es más que 0, ¿cuanto? ¿Es un numero mas chico que 0,1? ¿Mas chico que 0,00001? ¿Mas chico que 0,0000000000001? ¿Es mas chico que cualquier numero pequeño?
Entonces es 0,000000000000000....
¿No es esto el mismo CERO?
Si la resta da 0, entonces es que P y Q son el mismo punto, o sea que 1,99999... = 2.
Lo IMPORTANTE aquí es notar que, las REPRESENTACIONES DECIMALES 1,9999.... y 2,0000... son CLARAMENTE DISTINTAS. Sin embargo, se les considera IGUALES COMO NUMEROS, porque sirven para medir EL MISMO SEGMENTO EN LA LINEA RECTA. A la hora de medir algo, conducen al mismo resultado.
Además, si uno se fija, ¿qué significa que 3,14159265... es EXACTAMENTE \( \pi \)? La verdad es que con cada decimal que damos de \( \pi \), nos vamos aproximando cada vez más por la izquierda, y así vamos descartando los puntos que están antes que \( \pi \) que aún no son el \( \pi \) mismo, en un proceso secuencial, digito a digito. Pero, ¿alguna vez llegamos al ultimo digito de \( \pi \)? ¿Llegamos al punto \( \pi \) alguna vez en forma definitiva si nos acercamos con los digitos, uno a uno?
Es claro que no, igual que Zenon no podia cruzar el segmento de longitud 1.
Lo mismo pasa con el 1,9999... Es una manera de acercarse por la izquierda a ALGO, pero nunca alcanzarlo. Aún así, por sucesivas aproximaciones, es que logra representar con sus digitos un punto unico de la recta numérica. ¿Cual es ese punto? ¿A que punto se aproxima?
Respuesta: se aproxima al mismo punto que al principio habíamos marcado con el 2, al trasladar el segmento unidad hacia la derecha en la RECTA NUMERICA.
Por ultimo, ayudando a que entre la idea de LIMITE.
¿Qué resultado dan las restas siguientes?
2 - 1,9
2 - 1,99
2 - 1,999
2 - 1,9999
Y finalmente, si esto se hace cada vez más pequeño, y se acerca a 0...
¿CUANTO DEBIERA DAR LA RESTA 2 - 1,999999999999999...?
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Si el alumno tiene la mente de Cantor, podrá decir que AL FINAL de las lita de 9999...'s, puede ponerse un digito mas, y comenzar de nuevo una lista de mas digitos.
Eso puede hacerse sin problemas con una lista de digitos, ¿pero qué significado geométrico tiene? ¿qué segmento está midiendo eso? ¿Es una medida de algo en el sentido geométrico, incluso intuitivo?
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Si el alumno tiene mas interes en profundizar, podrás contarle los distintos métodos equivalentes de representar un mismo concepto:
(1) RECTA NUMERICA
(2) Representación por digitos decimales
(3) Aproximacion por sucesiones de racionales
(4) Metodo de encaje de intervalos (parecido al anterior)
(5) Sistema axiomatico de los numeros reales (incluyendo operaciones algebraicas y relacion de orden total)
(6) Metodo de las cortaduras de Dedekind en el conjunto de los racionales
(7) Completación topologica del sistema de racionales visto como espacio topologico (esto para nivel mas avanzado, claro, pero nunca se puede saber qué tan avido de saber es un joven).
Al ver que estos metodos son diferentes, se ve que cada uno se puede generalizar en una dirección distinta, y se va por una rama distinta de la matematica: la geometría, el álgebra, la teoría de conjuntos, el análisis matemático, la topología, la teoría de conjuntos ordenados, etc.
Lamento no tener la capacidad de escribir mensajes cortos.
¡Que se diviertan tú y tu alumno!
