[Carlos piñeda]

Sean \( {G} \) un grupo y \( {H} \) un subgrupo. Demuestre que:
a) Dados \( g,l\in G \), entonces \( Hg=Hl \) o \( Hg\cap{Hl}=\emptyset \).
b) Para todo \( g,l \in G \) se tiene \( card(gH) = card(Hl) = card(H) \).
c) \( card(G/H) = card(H\backslash G) \).
d) \( gH = Hg  \) para todo \( g\in G \Leftrightarrow{} G/H = H\backslash G \).

Buenas dias\tardes, soy Carlos, mi segunda vez comentando en este foro. Me gustaría que me ayudaran con este ejercicio si no es mucha la molestia. Gracias.

[Fernando Revilla]

Sean \( {G} \) un grupo y \( {H} \) un subgrupo. Demuestre que:  a) Dados \( g,l\in G \), entonces \( Hg=Hl \) o \( Hg\cap{Hl}=\emptyset \).

Sería conveniente que escribieras lo que has intentado. Te ayudo con el a). Si \( Hg\cap{Hl}\ne\emptyset \) existe \( z\in Hg\cap{Hl} \), luego \( z=h_1g=h_2l \) con \( h_1,h_2\in H \). Esto implica \( g=h_1^{-1}h_2l=hl \) con \( h\in H \). Ahora te será fácil demostrar \( Hg\subset Hl \) y \( Hl\subset Hg \).

[Carlos piñeda]

Toda la razón Fernando, muchas gracias.

Ya pude hacer la a) b) y c). Estoy presentando problemas con la d). Creo que la implicancia \( gH = Hg  \) para todo \( g\in G \Leftarrow{} G/H = H\backslash G \) es directa, pero no estoy seguro. y para la otra implicancia tengo que tomando \( x\in gH \Leftrightarrow x\in Hg \) pero no sé que más hacer.

[Fernando Revilla]

d) \( gH = Hg  \) para todo \( g\in G \Leftrightarrow{} G/H = H\backslash G \).

Si \( gH = Hg  \) para todo \( g\in G \), el subgrupo \( H \) es normal, con lo cual está definido el grupo cociente \( G/H \) siendo

        \( G/H=\{gH:g\in G\}=\{Hg:g\in G\}=H \backslash G \).