[Florruiz]

De dos maquinas que empacan automáticamente café se han extraído muestras de 64 bolsas en cada una de ellas. La distribución de probabilidad del peso de cada bolsa para ambas poblaciones tiene idénticas medias y desviaciones estándar  de 6.4 grs y 7.4 grs, respectivamente. Calcule la probabilidad que la diferencia entre las medias de la muestra exceda a 0,6 grs  en valor absoluto.
El ejercicio da como resultado 0.6170 pero me interesa saber es de que forma se llega a este resultado? Espero puedan ayudarme.

[Luis Fuentes]

Hola

De dos maquinas que empacan automáticamente café se han extraído muestras de 64 bolsas en cada una de ellas. La distribución de probabilidad del peso de cada bolsa para ambas poblaciones tiene idénticas medias y desviaciones estándar  de 6.4 grs y 7.4 grs, respectivamente. Calcule la probabilidad que la diferencia entre las medias de la muestra exceda a 0,6 grs  en valor absoluto.
El ejercicio da como resultado 0.6170 pero me interesa saber es de que forma se llega a este resultado? Espero puedan ayudarme.

Por el Teorema del límite central, la distribución de la media muestral de cada una de las muestras se aproxima por normales \( N(\mu,6.4/\sqrt{64}) \) y \( N(\mu,7.4/\sqrt{64}) \)

Ahora la diferencia de dos normales \( N(\mu_1,\sigma_1) \) y \( N(\mu_2,\sigma_2) \) independientes es una normal \( N(\mu_1-\mu_2,\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}) \)

Por tanto en tu caso la diferencia entre las medias muestrales es una normal \( Z\in N(0,\sqrt{6.4^2+7.4^2}/8) \).

Tienes que calcular \( P(|Z|>0.6) \)

Saludos.

[Florruiz]

He hecho los cálculos y por mas que intento no logro llegar a ese resultado. Calculé Z y me dio un resultado de 0.5 cuando lo ubico en la tabla me dio un resultado de 0.6915 luego 1 - 0.6915= 0.3085. Muy lejos del resultado que estoy buscando. Necesito me expliquen por favor.

[Luis Fuentes]

Hola

He hecho los cálculos y por mas que intento no logro llegar a ese resultado. Calculé Z y me dio un resultado de 0.5 cuando lo ubico en la tabla me dio un resultado de 0.6915 luego 1 - 0.6915= 0.3085. Muy lejos del resultado que estoy buscando. Necesito me expliquen por favor.

No estoy seguro que quieres decir con "me dio un resultado de 0.5".

Tienes que:

\( Z\in N(0,\sqrt{6.4^2+7.4^2}/8)=N(0,1.22) \)

Si estandarizamos, tomando \( X=Z/1.22 \) se tiene que \( X\in N(0,1). \)

Entonces:

\( P(|Z|<0.6)=P(|X|<0.6/1.22)=P(|X|<0.49) \) (¿quizá ese \( 0.49 \) es tu \( 0.5 \)?)

Ahora depende de la tabla que uses (algunas dan los valores de \( P(X<x)  \) para \( x>0 \); otras para \( x<0 \); otras \( P(X>x) \).).

Por ejemplo esta da los valores \( P(X<x) \) para \( x<0 \).

Tienes por simetría que:

\( P(|X|<0.49)=2P(X<0.49)=2\cdot 0.3121=0.6242 \)

Si aproximamos por \( 0.5 \) sería:

\( P(|X|<\color{red}0.5\color{black})=2P(X<\color{red}0.5\color{black})=2\cdot 0.3085=0.6170 \)

Saludos.

CORREGIDO

[Florruiz]

A eso me refería, hice la aproximación a 0.5 , esto se puede hacer?  o solo hay que trabajar con los números exactos?

[Luis Fuentes]

Hola

Corregí una errata en mi mensaje anterior; espero que no te haya confundido.

A eso me refería, hice la aproximación a 0.5 , esto se puede hacer?  o solo hay que trabajar con los números exactos?

Pues es un poco "a gusto del consumidor" y depende de la precisión que se necesite. Exactos, exactos, no van a ser a no ser que se deje la expresión sin calcular. Entonces depende de la precisión que necesitemos y que te pida quien propuso el enunciado.

La respuesta que dices que da tu ejercicio: \( 0.6170 \) es aproximando a \( 0.5 \).

De todas formas si como dijiste, tu problema era este:

He hecho los cálculos y por mas que intento no logro llegar a ese resultado. Calculé Z y me dio un resultado de 0.5 cuando lo ubico en la tabla me dio un resultado de 0.6915 luego 1 - 0.6915= 0.3085. Muy lejos del resultado que estoy buscando. Necesito me expliquen por favor.

Sospecho que estabas interpretando mal las tablas. A ti te daba \( 0.3085 \). Eso es porque probablemente sólo calculaste \( P(X>0.5) \) ó \( P(X<-0.5) \) pero te piden ambas, es decir, \( P(|X|>0.5) \). Por eso es la respuesta es el doble de lo que tu ponías.

Saludos.