[Ricardo Boza]

Hola,

Me preguntaba si, al igual que se puede encontrar un homeomorfismo entre \( \mathbb{R} \) y la circunferencia con la proyección estereográfica, también se puede hacer algo parecido con la cardioide y la circunferencia, disponiendo la circunferencia dentro de la cardioide y el foco de la proyección en el centro de la circunferencia.

También, que la lemniscata y la circunferencia no son homeomorfas porque puedo elegir el centro de la lemniscata como punto de corte, y aparecerían dos componentes conexas, mientras que cualquier punto de corte en la circunferencia da una sola componente conexa.

Probar que la curva \( \alpha(t)=(a+bt, c+dt+et^2),\: a,b,c,d,e\in\mathbb{R} \), no puede ser una circunferencia.

He pensado varias cosas, pero no consigo un resultado contundente. Acabo de ver que calculando la curvatura podría hacerse quizás fácilmente a falta de un poco de cálculo, pero puede que eso sea demasiada artillería para tan poca cosa.

[Luis Fuentes]

Hola

Me preguntaba si, al igual que se puede encontrar un homeomorfismo entre \( \mathbb{R} \) y la circunferencia con la proyección estereográfica

Es entre \( \mathbb{R} \) y la circunferencia

menos un punto

.

, también se puede hacer algo parecido con la cardioide y la circunferencia, disponiendo la circunferencia dentro de la cardioide y el foco de la proyección en el centro de la circunferencia.

Si. Esencialmente es lo que se hace cuando se da ecuación de la cardioide en polares.

También, que la lemniscata y la circunferencia no son homeomorfas porque puedo elegir el centro de la lemniscata como punto de corte, y aparecerían dos componentes conexas, mientras que cualquier punto de corte en la circunferencia da una sola componente conexa.

Si.

Probar que la curva \( \alpha(t)=(a+bt, c+dt+et^2),\: a,b,c,d,e\in\mathbb{R} \), no puede ser una circunferencia.

No estoy seguro de que sentido preciso le quieres dar "no ser una circunferencia". ¿Homeomorfa? ¿O exactamente igual a una cicunferencia?.

Entonces:

- Homeomorfa no puede ser, porque la curva \( \alpha(t) \) nunca es una curva cerrada.
- Exactamente igual no puede ser porque \( \alpha(t) \) no es acotada si \( b\neq 0 \) y está contenida en una recta si \( b=0 \).

Quizá podría haber otras interpretaciones, así que clarifica bien tu pregunta.

Saludos.

[Ricardo Boza]

Es entre \( \mathbb{R} \) y la circunferencia menos un punto.

Sí.

¿O exactamente igual a una circunferencia?.

Sí, es en este sentido, aunque el enunciado no especifica más.

- Exactamente igual no puede ser porque \( \alpha(t) \) no es acotada si \( b\neq 0 \) y está contenida en una recta si \( b=0 \).

Entiendo.

Gracias!