Mostrar Mensajes

Esta sección te permite ver todos los posts escritos por este usuario. Ten en cuenta que sólo puedes ver los posts escritos en zonas a las que tienes acceso en este momento.

Temas - franma

Páginas: [1] 2 3 4 5
1
Temas de Física / Demostrar que un sistema realiza un M.A.S
« en: 19 Junio, 2021, 11:51 pm »
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Una cuenta pequeña está forzada a deslizar sin rozamiento sobre un aro circular de \( R = 0,13 m \) de radio, colocado en un plano vertical. Demuestra que, si la cuenta se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio, el movimiento resultante es, aproximadamente, armónico simple, y calcula su período.

Primero les adjunto una pequeña ilustración de como imagino es el movimiento que describe el enunciado:



Mi duda es como demuestro que este realiza un M.A.S, supongo que como en el ejercicio anterior no es necesario ni obtener ni resolver la ecuación de movimiento.

Espero me puedan indicar como continuar.

Saludos,
Franco.

2
Temas de Física / Disco de hockey entre 2 resortes (M.A.S)
« en: 19 Junio, 2021, 03:49 pm »
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Un disco de hockey de \( m = 0.30 kg \) de masa se desliza sobre una superficie horizontal de hielo entre dos resortes, cada uno con constante \( k = 1.2 N/m \). Cuando ambos resortes no están deformados, la distancia entre sus extremos es \( 1.0 m \). Grafica la posición del disco en función del tiempo para demostrar que el movimiento es periódico. Si su velocidad en el punto medio de la pista es de \( 1.5 m/s \), determina su período.



Me piden graficar su posición, pero me parece mejor si primero hayo su ecuación de movimiento y solución para luego recién graficarla, ya que será mas fácil y aprovechare a practicar mas este tema.

Lo que logre hacer (aunque no se si de utilidad) fue por energía averiguar la compresión máxima del resorte:

\( E_i=\dfrac{mv_0^2}{2} \)

\( E_f=\dfrac{kx^2}{2} \)

\( E_i=E_f \Rightarrow x=\sqrt{\dfrac{mv_0^2}{k}} \)

Por lo que la amplitud del movimiento es \( 0.5m + x \)

Ahora utilizando el razonamiento "inverso" podemos ver que cuando el disco sale disparado del resorte lo hace con una velocidad \( v_0 \).

Ya tenemos \( x_0 \), \( v_0 \), y la amplitud  :) Donde me tranco es al determinar la ecuación del movimiento...
Por 1era cardinal no se me ocurre como hacerlo, ya que tengo los 2 resortes y no entiendo exactamente como plantearla.
¿Tal vez pueda ser por energía?

\( \dfrac{kx^2}{2} + \dfrac{kx^2}{2} + \dfrac{mv^2}{2}=E_{cte} \) para las posiciones de estiramiento debería poner algún tipo de constante que me ayude con las posiciones de equilibrio pero no se como.

¿O tal vez lo puedo tratar como un resorte solo y aplicar lo que ya conozco para el caso de 1 resorte?

Espero me puedan guiar en como continuar.

Saludos,
Franco.

3
Temas de Física / Sistema masa-resorte (M.A.S)
« en: 18 Junio, 2021, 07:01 pm »
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Un oscilador consta de un bloque de \( 512 g \) de masa unido a un resorte. En \( t =0 \), se estira \( 34.7 cm \) respecto a la posición de equilibrio y se observa que repite su movimiento cada \( 0.484 \) segundos.
Halla:
(a) el período.
(b) la frecuencia.
(c) la frecuencia angular.
(d) la constante de fuerza.
(e) la velocidad máxima.
(f) la fuerza máxima ejercida sobre el bloque.
(g) la ecuación de movimiento.
(h) la solución.

Bueno, recién estoy empezando con el M.A.S, hasta ahora realice lo siguiente:
El periodo me lo dan así que \( f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{0.484}\cong 2.066 \)

La frecuencia angular es \( \omega=2\cdot\pi\cdot f=2\cdot\pi\cdot2.066\cong12.98 \)

Ahora aprovechando que en el oscilador masa-resorte \( \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\Rightarrow \omega^2=\dfrac{k}{m}\Rightarrow k=\omega^2\cdot m \) sustituyendo los valores \( k\cong86.28N/m \)

Aquí me tranco y me surgen 2 dudas que son las siguientes:
No se como afrontar el calculo de la velocidad máxima, entiendo que esta se daría en el punto de equilibro pero no se como continuar.

Luego, en clase nos dijeron que podemos presentar 2 soluciones, una de la forma: \( x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)  \) y otra de la forma \( x(t)=A'cos(\omega t + \varphi) \) donde podíamos cambiar de una a la otra con las siguientes relaciones:
\( A'=\sqrt{A^2+B^2} \)
\( \tan(\varphi)=\dfrac{B}{A} \)

¿Existe algún indicio para saber cuando tengo que usar cada una de las soluciones? Me refiero a como saber cual será mas cómoda para trabajar el problema.

Saludos,
Franco.

Agrego: No se si es correcto asumir esto, pero si el estiramiento inicial es el máximo (amplitud) entonces la energía elástica máxima estaría dada en el momento \( t_0 \) que se transformaría totalmente en energia cinética en \( x=0 \).
\( K_{max}=\dfrac{1}{2}kx_0^2=\dfrac{1}{2}mv^2 \) despejando \( v \) obtengo \( v= \sqrt{\dfrac{kx_0^2}{m}}\cong4.5m/s \)

Consecuentemente la fuerza máxima esta dada en el instante que el bloque esta en la posición de amplitud máxima (\( x_0 \) y \( -x_0 \)) por la ley de Hooke entonces \( F_{max}=kx_0\cong29.24N \)

Finalmente con la solución general  \( x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)  \) que fue resuelta genericamente en clase obtuvimos:
\( A=x_0 \)
\( B=v_0\cdot\sqrt{\dfrac{m}{k}} \)
Utilizando los datos del ejercicio la solución a la ecuación de movimiento seria entonces:\( x(t)=A\cos(\omega t)\cong 0.347\cdot\cos\left(12.98\cdot t\right) \)

¿Es correcto?

4
Cálculo 1 variable / $$\int \sqrt{x^2-1}\ dx$$
« en: 16 Junio, 2021, 02:34 pm »
Buenas,

Tengo que realizar esta integral \( \displaystyle \int \sqrt{x^2-1}\ dx \), no creo que salga por partes ya que al derivar \( \sqrt{x^2-1} \) queda otra integral que no se resolver.

Seria entonces por sustitución, pero no logro ver cual debe ser la sustitución.

¿Alguna idea para comenzar?

Saludos,
Franco.

5
Cálculo 1 variable / $$\int x2^{-x}dx$$ por partes.
« en: 14 Junio, 2021, 04:51 pm »
Buenas,

Debo calcular \( \displaystyle\int x2^{-x}dx \) con el método de integración por partes.
El enunciado trae una sugerencia "Aplicar logaritmo y exponencial a \( 2^{−x} \)" pero no logro ver como aplicarla.
Tal vez reescribirlo como \( \displaystyle 2^{-x}=e^{\ln(2^{-x})}=e^{-x\ln2} \) pero no veo como me ayuda con la integral.

Todavía no estoy muy "entrenado" en la integración, así que a primera vista no se quién tomar como \( f' \) y a quien como \( g \).

¿Alguna ayuda para comenzar?

Agrego: Intentando llego hasta:
\( \displaystyle\int x2^{-x}dx = \dfrac{x^2}{2}2^{-x}-\int \dfrac{x^2}{2}e^{-x\ln2}\cdot(-\ln2)dx=\dfrac{x^2}{2}2^{-x}+\dfrac{\ln2}{2}\int x^2e^{-x\ln2}dx \)

Tomando \( f'=x \) y \( g=2^{-x} \) pero aquí me tranco y no se como seguir.

Saludos,
Franco.

6
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Una esfera de radio \( R \) y masa \( M \) está en reposo sobre un plano inclinado, sostenida por una cuerda horizontal.
Entre el plano y la esfera se mide un coeficiente de rozamiento estático \( \mu_s = 0.7 \). Si el ángulo de inclinación del plano es \( \theta = 30º \), ¿Cuál es la fuerza de rozamiento entre el plano y la esfera?



Realice lo siguiente (aunque creo no llegue a ninguna respuesta):
Tome el sistema de referencia paralelo al suelo, eje x positivo hacia la derecha, eje y positivo hacia arriba y eje z positivo en sentido horario.

1era cardinal:
x: \( T+F_r\cos\theta-N\sin\theta=0 \)
y: \( N\cos\theta+F_r\sin\theta-Mg=0 \)
2da cardinal:
z: \( TR-F_rR=0 \Rightarrow R(T-F_r)=0 \Rightarrow T=F_r \)

De la primera ecuación:
\( N=\dfrac{T+F_r\cos\theta}{\sin\theta} \)

Sustituyo en la segunda ecuación y utilizando el resultado de la tercera (\( T=F_r \)) :
\( \left(\dfrac{F_r+F_r\cos\theta}{sin\theta}\right)\cos\theta+F_r\sin\theta-Mg=0 \)

Operando llego a:
\( \boxed{F_r=\dfrac{Mg\sin\theta}{\cos\theta+1}} \)

¿Seria correcto? Técnicamente la masa esta como dato en la letra, pero al darme valores numéricos tanto para el ángulo como para el coeficiente de rozamiento no se si debo despejar todos los datos y asignarle un valor numérico.

Saludo,
Franco.

7
Temas de Física / Bombero en escalera (Equilibrio de rígidos).
« en: 12 Junio, 2021, 10:19 pm »
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Un bombero sube por una escalera rígida de largo total \( 2L \). La primera sección de la escalera tiene largo \( L = 7,5 m \) y una masa \( M = 350 kg \) (el resto de la escalera puede suponerse de masa despreciable). La escalera está apoyada formando un ángulo de \( 45º \) sobre un piso cuyo coeficiente de rozamiento estático es \( \mu_S = 0,6 \). La escalera tiene un punto de apoyo \( P \) sin fricción en el extremo del primer tramo de escalera, como se muestra en la figura. La masa máxima del bombero que puede subir hasta el extremo superior de la escalera sin que ésta se mueva, es:
(a) \( 63 kg  \)
(b) \( 70 kg  \)
(c) \( 81 kg  \)
(d) \( 88 kg  \)
(e) \( 95 kg \)
Nota: La reacción en el punto \( P \) es normal a la escalera.



La verdad no se bien como plantear el ejercicio. No se si para este caso el mejor sistema de referencia seria paralelo al suelo o a la escalera.
Intente resolverlo y no llego al resultado... ni cerca, debo haberle errado a algo ya que obtengo \( m=800.7kg \)  :banghead:

Espero me puedan dar algún consejo de como comenzar el ejercicio.

Saludos,
Franco.

8
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Los colores en un monitor son implementados usando “modelos de colores”. Por ejemplo, en el modelo RGB, los colores son creados a partir de una mezcla de (R) rojo, (G) verde, y (B) azul; mientras que en el modelo YIQ (modelo usado por el estándar de televisión analógico NTSC) los colores son creados mezclando porcentajes de luminiscencia (Y) y los factores de crominancia (I) y (Q).

La conversión del modelo RGB al YIQ esta dado por la siguiente transformación:

\begin{pmatrix}{Y}\\{I}\\{Q}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{0,299}&{0,587}&{0,114}\\{0,596}&{-0,275}&{-0,321}\\{0,212}&{-0,523}&{0,311}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{R}\\{G}\\{B}\end{pmatrix}

(a) Determinar la matriz de la conversión desde YIQ a RGB.
(b) Calcular los siguientes colores en el sistema YIQ.
  • Amarillo \( = (255,255,0) \)
  • Blanco \( = (255,255,255) \)
  • Marrón \( = (150, 75, 0) \)

La duda que tengo es como atacar el problema, se me ocurre invertir la matriz de cambio pero esto me parece la opción de "fuerza bruta" ya que a primera vista parece bastante incomoda de trabajar.
Me podrían dar alguna pista para algún método más cómodo... ¿O tal vez el que propuse es el mejor?

Saludos,
Franco.

9
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Consideremos una matriz \( A \in M_{2×2}(\mathbb{R}) \) y la transformación \( T:M_{2×2}(\mathbb{R}) → M_{2×2}(\mathbb{R}) \) definida por \( T(B) = AB \).
(1) ¿Existen bases en \( M_{2×2}(\mathbb{R}) \) tal que la matriz asociada en dichas bases sea justamente A?. Justifique
la respuesta.
(2) Para \( A =\begin{pmatrix}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{pmatrix} \) hallar la matriz asociada a \( T \) en la base canónica de \( M_{2×2}(\mathbb{R}) \).

Para el apartado (1): No, ya que la transformación va de un EV de dimensión 4 a uno de dimensión 4 su matriz asociada será de \( 4×4 \) y la matriz \( A \) es de \( 2×2 \) por lo que nunca podrá ser \( A \) la matriz asociada a la transformación.

Para el apartado (2) utilice la base canónica:
\( B=\left\{\begin{pmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}{0}&{0}\\{1}&{0}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}{0}&{0}\\{0}&{1}\end{pmatrix}\right\} \)

Una vez aplique la transformación a cada matriz de B expresada en forma "vectorial" o en "fila" las coloque en la matriz expresadas en la base B nuevamente (ya que son la misma).

Luego \( _B(T)_B=\begin{pmatrix}{1}&{0}&{2}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{2}\\{3}&{0}&{4}&{0}\\{0}&{3}&{0}&{4}\end{pmatrix} \).

Probé con algunos valores y parece funcionar sin problema.

¿Es correcto?

Saludos,
Franco.

10
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Sea \( T:\mathbb{R}_2[x]\to\mathbb{R}^3 \) tal que:

\( _\mathcal{U}(T)_\mathcal{E}=\begin{bmatrix}{2}&{2}&{1}\\{1}&{3}&{1}\\{1}&{2}&{2}\end{bmatrix} \)

donde \( \mathcal{E}=\{1,x+1,(x+1)^2\} \) y \( \mathcal{U}=\{(1,1,0),(1,2,3),(3,2,1)\} \)

(a) Hallar \( T(x^2+x-1) \)
(b) Hallar la expresión general de \( T(p) \) siendo \( p=ax^2+bx+c \) un polinomio genérico de \( \mathbb{R}_2[x] \)

Realice lo siguiente:
Para la parte (a) encontre las coordenadas del polinomio en la base \( \mathcal{E} \), \( coord_\mathcal{E}(p)=(-1,-1,1) \)
Y realice la multiplicación de matrices:
\( \begin{bmatrix}{2}&{2}&{1}\\{1}&{3}&{1}\\{1}&{2}&{2}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}{-1}\\{-1}\\{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{-3}\\{-3}\\{-1}\end{bmatrix} \)

Ahora para el apartado (b):
Encontré las coordenadas de un polinomio genérico en la base \( \mathcal{E} \), \( coord_\mathcal{E}(p)=(a-b+c,-2a+b,a) \)
Y realice la multiplicación de matrices:
\( \begin{bmatrix}{2}&{2}&{1}\\{1}&{3}&{1}\\{1}&{2}&{2}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}{a-b+c}\\{-2a+b}\\{a}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{-a+2c}\\{-4a+2b+c}\\{-a+b+c}\end{bmatrix} \)

¿Es correcto?

Saludos,
Franco.

11
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Determinar si existe alguna transformación \( T : \mathbb{R}_2[x] → \mathbb{R}^2 \) que satisfaga
\( T (1) = (1,0) \)
\( T (1 + x) = (1,1) \)
\( T (1 + x + x^2) = (0,0) \)
\( T (3 + 2x + x^2) = (2,1) \)
En caso de que exista alguna hallarlas todas.

El 4to vector es combinación de los 3 primeros (también lo es su imagen), así que podría hallar la transformación que cumple los 3 primeros requisitos y el 4to quedaría cumplido por linealidad.
Se me ocurre luego para hallar todas las transformaciones conseguir todas las bases que puedo armar con los 4 vectores de \( \mathbb{R}_2[x] \) y hallar cada transformación, pero creo que esto seria muy tedioso.

¿Seria correcto resolverlo así? ¿Alguna otra manera tal vez usando otros conceptos?

Saludos,
Franco.

12
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Sea \( T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) una transformación lineal tal que:
\( T (1,0,0) = (2,1,0) \)
\( T (1,1,0) = (−1,2,3) \)
\( T (1,1,1) = (0,0,1) \)
Indicar si T esta bien definida y en caso afirmativo hallar \( T (x,y, z) \) para todo \( (x,y, z) \).

Realice lo siguiente:
Al ser transformación lineal \( T(1,0,0)+T(0,1,0)=T(1,1,0) \) entonces:
\( (2,1,0)+(a,b,c)=(-1,2,3) \) de donde deduzco que \( T(0,1,0)=(-3,1,3) \)

Con el mismo razonamiento \( T(1,1,0)+T(0,0,1)=T(1,1,1) \) entonces:
\( (-1,2,3)+(a,b,c)=(0,0,1) \) de donde deduzco que \( T(0,0,1)=(1,-2,-2) \)

Ahora tengo:
\( T(x,0,0)=(2x,x,0) \)
\( T(0,y,0)=(-3y,y,3y) \)
\( T(0,0,z)=(z,-2z,-2z) \)

Y ahora "sumando" todos los resultados de la base canónica de \( \mathbb{R}^3 \):
\( T(x,y,z)=(2x-3y+z,x+y-2z,3y-2z) \)

¿Es correcto? Es el primer ejercicio del estilo que me encuentro y no comprendí a que se refiere con "Indicar si T esta bien definida" ¿Se refiere a si puedo encontrar una única transformación que cumpla con los valores dados? Supongo que si ya que pude resolver el ejercicio, pero no se me ocurre un buen método para revisar esto.

Saludos,
Franco

13
Buenas,

Debo determinar si la siguiente transformación es lineal:
Dados \( V \) un \( \mathbb{R} \) espacio vectorial de dimensión \( n \), \( \mathcal{B} \) una base de \( V \). \( T : V → \mathbb{R}^n \text{ tal que }T(v) = coord_\mathcal{B}(v) \)

No tengo muy claro como proceder con la demostración, se me ocurre hacerlo de la siguiente manera:
Sean \( u,v \) dos vectores de \( V \).
\( T(u)+T(v)=coord_\mathcal{B}(v)+coord_\mathcal{B}(u)=coord_\mathcal{B}(v+u) \) Supongo que al ser coordenadas de la misma base no hay problema al sumarlas.

Y para el producto:
\( T(kv)=coord_\mathcal{B}(kv)=k\cdot coord_\mathcal{B}(v) \) Al ser elementos de \( \mathbb{R}^n \) puede salir el escalar hacia fuera.

¿Es correcto? Si lo es, tal vez me pueden ayudar a detallar con un poco más de "rigor" el porque ya que no estoy seguro de que me explique correctamente el porque puedo por ejemplo sacar el escalar hacia fuera.

Saludos,
Franco.

14
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
En los siguientes casos determinar si la transformación \( T \) definida es lineal:

(a) \( T : \mathbb{R}_n[x] → \mathbb{R}_{n−1}[x] \text{ tal que } (T(P))(x) = P'(x) \)

(b) \( T : C[0,1] → \mathbb{R} \text{ tal que } T (f) = \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt \)

(c) \( T : C[0,1] → \mathbb{R} \text{ tal que } T (f) = \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt \)

Donde \( C \) denota \( \{f : [0,1] →\mathbb{R} \text{ tal que f es continua}\} \)

Realice lo siguiente:
(a) Sean P y Q dos polinomios de grado n.
Para la suma:
\( T(P)=P'(x) \)
\( T(Q)=Q'(x) \)
\( T(P)+T(Q)=P'(x)+Q'(x) \)
\( T(P+Q)=(P+Q)'(x)=P'(x)+Q'(x) \) por linealidad de la derivada.

Para producto:
\( T(kP)=(kP)'(x)=kP'(x)=kT(P) \)

(c)
Sean \( f,g \in C \)

Para la suma:
\( T(f)+T(g)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt + \int_{0}^{x}g(t)dt=\int_{0}^{x}f(t)+g(t)dt=\int_{0}^{x}(f+g)(t)dt=T(f+g) \)

Para el producto:
\( T(kf)=\displaystyle\int_{0}^{x}kf(t)dt=k\int_{0}^{x}f(t)dt=kT(f) \)

El (b) totalmente análogo que el (c)

¿Es correcto?

Saludos,
Franco.

15
Temas de Física / Patinadores momento angular.
« en: 05 Junio, 2021, 04:19 pm »
Buenas

El enunciado dice lo siguiente:
Ricardo y Judith, (a quienes supondremos de \( 51,2 \) kg de masa) están patinando sobre hielo, aproximándose el uno hacia el otro con velocidad de idéntico módulo \( 1,38m/s \). Sus trayectorias son paralelas y están separadas una distancia de \( 2,92 m \). Ricardo lleva en sus manos una barra ligera, larga de \( 2,92 m \) de longitud y Judith toma el extremo de ésta al pasar. Supondremos que el hielo carece de fricción:
(a) Describe cuantitativamente el movimiento de los patinadores después de que están unidos por la barra.
(b) Después, ayudándose al tirar de la barra, los patinadores reducen su separación a \( 0,940 m \). Halla su velocidad angular entonces.
(c) Calcula la energía cinética del sistema en las partes (a) y (b). ¿Por qué cambió?

Observación: la cantidad de movimiento total del sistema, vista desde un referencial en reposo, es nula en todo momento.

Este es mi intento:
(a) Una vez se agarra Judith a la barra mantendrán su velocidad tangencial, pero comenzaran a rotar alrededor del centro de la barra con velocidad angular \( \omega=\dfrac{v_i}{L/2} \). Lo único que no logro argumentar es porque se mantiene la velocidad tangencial... aunque me parece casi intuitivo.

(b)
\( \omega=\dfrac{v_i}{L/2} \)

\( L_i=I_B\omega+\dfrac{2mLv}{2}=I_B\omega+mLv \)

\( R=\dfrac{L-l}{2} \) donde \( l \) es la distancia que acortaron (se acercaron).

\( L_f=(I_B + 2mR^2)\omega_f \)

Por conservación del momento angular:

\( I_B\omega+mLv=(I_B + 2mR^2)\omega_f \)

\( \omega_f=\dfrac{I_B\omega+mLv}{I_B + 2mR^2} \) Pero la letra dice barra ligera... nunca especifica masa, ¿es entonces esta despreciable? Si es así resultaría:

\( \omega_f=\dfrac{mLv}{2mR^2}=\dfrac{Lv}{2R^2} \)

Lo cual da una velocidad angular mayor que la inicial, esto para mi tiene sentido ya que apuntando un poco hacia el apartado (c) al acercarse ellos reducen el momento de inercia (que se entiende como la "resistencia" a girar) por lo que consecuentemente si se acercan giraran con mayor velocidad.

Cualquier ayuda o consejo es bienvenido.

Saludos,
Franco.

16
Buenas,

El ejercicio dice lo siguiente:
Una cucaracha de masa m corre en sentido antihorario por el borde de un plato circular de radio R y momento de inercia I, que puede girar sin fricción en torno a un eje vertical. La velocidad de la cucaracha con relación a la tierra es v, mientras que el plato gira en sentido horario a una velocidad angular \( \Omega \). La cucaracha encuentra una miga de pan sobre el borde y, por supuesto, se detiene.
(a) Halle la velocidad angular del plato después de haberse detenido la cucaracha.
(b) ¿Cuánta energía cinética se perdió?

Mi primera duda seria si es posible calcular el momento angular de la cucaracha como si fuese un "rígido" y no una partícula.
Quedaría de la siguiente manera:
\( L_i=I\Omega + mR^2\left(\dfrac{v}{R}\right)=I\Omega + mR \)

¿Es correcto esto? De otra manera no se exactamente como calcular el momento angular inicial.
¿O tal vez debo hacer movimiento relativo para la velocidad de la cucaracha?

Saludos,
Franco.

17
Temas de Física / Acoplamiento totalmente inelástico.
« en: 04 Junio, 2021, 10:39 pm »
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Una rueda con una inercia rotatoria de \( 1.27 kg \ m^2 \) está girando a una velocidad angular de \( 824 rev/min \) alrededor de un eje cuya inercia rotatoria es despreciable. Una segunda rueda, inicialmente en reposo y con una inercia rotatoria de \( 4.85 kg \ m^2 \) se acopla de repente al mismo eje.
(a) ¿Cuál es la velocidad angular de la combinación resultante del eje y las dos ruedas?
(b) ¿Qué fracción de la energía cinética original se pierde?

Realice lo siguiente:

Convertí las revoluciones por minuto a radianes por segundo
\( 824 rev/m = \dfrac{824\pi}{30}\  rad/s \)

Por conservación del momento angular:
\( L_i=I_1\omega_1 \)
\( L_f=(I_1+I_2)\omega_f \)

\( I_1\omega_1=(I_1+I_2)\omega_f \Rightarrow \omega_f=\dfrac{I_1\omega_1}{(I_1+I_2)\omega_f}=17.90\  rad/s \)

La energia cinetica perdida es \( 1- \dfrac{K_f}{K_i} \)

\( 1- \dfrac{(I_1+I_2)\omega_f^2}{I_1\omega_1}\cong 80\% \) de la energía cinética se perdió en la colisión.

¿Es correcto?

Saludos,
Franco.

18
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Base de Lagrange.
« en: 31 Mayo, 2021, 10:00 pm »
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Sean \( a_1,...,a_k \in \mathbb{R} \), \( k \) puntos diferentes. Se define \( \mathcal{B}=\{p_i:i\in\{1,...,k\}\} \), donde

\( p_i(x)=\displaystyle \prod_{j \not = i}{(x-a_j)} \)

1) Probar que \( \mathcal{B} \) es base de \( \mathbb{R}_{k-1}[x] \). A esta base se la conoce como base de Lagrange.

2) Hallar las coordenadas del vector \( q \in \mathbb{R}_2[x] \) tal que \( q(x) = x^2 + 2 \), en la base \( \mathcal{B} \) para los puntos \( a_1 = 0, a_2 = 1, a_3 = 2 \).

Estuve investigando y no encuentro donde se defina la base de Lagrange de esa manera , en Wikipedia aparece como un cociente, otra cosa que no me cierra es como es esa productoria, ¿De donde a donde va? ¿Por que solo dice \( j \not =i  \)? Esto tendría mas sentido en la versión del cociente ya que de esa manera nos aseguramos que esta bien definida en todo punto, pero no entiendo de donde a donde iría.

Cualquier consejo para poder comenzar el ejercicio es bienvenido.

Saludos,
Franco.

19
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Dados \( a \in \mathbb{R} \) y \( n \in \mathbb{N} \) definimos el conjunto \( \mathfrak{B}_a \subset \mathbb{R}_k[x]  \) como \( \mathfrak{B} = \{p_i:i\in\{0,...,k\}\} \), donde \( p_i(x)=(x-a)^i,i=0,1,...,k \)
(1) Probar que \( \mathfrak{B} \) es base de \( \mathbb{R}_k[x] \)
(2) Hallar las coordenadas del vector \( p \in \mathbb{R}_3 \) tal que \( p(x)=20-28x+13x^2 -2x^3 \) en la base \( \mathfrak{B}_2 \)

No se como comenzar la parte (1), hasta el momento me bastaba con realizar el determinante del sistema para confirmar que sus vectores eran L.I y además que el sistema de ecuaciones era compatible determinado, aquí me encuentro en problemas ya que no tengo un numero "fijo" de vectores, además de que no se como tratar con ellos al ser binomios.

Cualquier ayuda es bienvenida.

Saludos,
Franco.

20
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Sea \( \mathfrak{B} = \{q_1,q_2,q_3\} \subset R_2[x] \) donde:
\( q_1(x) = 1 \), \( q_2(x) = x − a \), \( q_3(x) = (x − a)(x − b) \), con \( a \) y \( b \) \( \in \ \mathbb{R} \).

(a) Probar que \( \mathfrak{B} \) es base de \( R_2[x] \).
(b) Sea \( h  \in R_2[x] \) tal que \( h(x) = x^2 − 5x + 6 \). Hallar \( \text{coord}_{\mathfrak{B}}(h) \).
(c) Sea \( S = [h] \). Hallar \( a \) y \( b \) sabiendo que \( \mathfrak{B} \cap S\not = \emptyset \) .

Realice lo siguiente:
Para el (a) expandí \( q_3(x)=x^2+x(-b-a)+ba \) y realice el siguiente determinante:

\( \begin{vmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{-a}\\{1}&{-b-a}&{ba}\end{vmatrix} \)

Esto me asegura que los vectores son L.I y además que al plantear la el sistema (queda con la matriz anterior pero traspuesta):
\( \lambda_3=\alpha_1 \)
\( \lambda_2 - (b+a)\lambda_3=\alpha_2 \)
\( \lambda_1 -a\lambda_2 + ba\lambda_3=\alpha_3 \)
donde \( \alpha_i \) son los coeficientes del polinomio genérico de la forma \( \alpha_1x^2+\alpha_2x+\alpha_3 \) siempre será compatible determinado por lo que puedo generar todos los polinomios de \( R_2[x] \).

Para la parte (b) plantee el sistema:
\( \lambda_3=1 \)
\( \lambda_2 - (b+a)\lambda_3=-5 \)
\( \lambda_1 -a\lambda_2 + ba\lambda_3=6 \)

Resolviendo obtuve \( \text{Sol}=(a^2-5a+6,a+b-5,1) \)

¿Hasta aquí esta correcto el procedimiento? Estoy un poco perdido para la parte (c), no se exactamente que hacer.
Estaría muy agradecido si me pueden guiar un poco o darme una idea de como continuar.

Saludos,
Franco.

Agrego:
Se me ocurre lo siguiente:
Planteo el sistema:
\( 1\lambda_1 = \alpha_1 \)
\( -5\lambda_1 = \alpha_2 \)
\( 6\lambda_1= \alpha_3 \)

Ahora como mínimo uno de los \( q_i \) debe ser generado por \( h \).
Pruebo con \( q_1(x)=1 \)
\( 1\lambda_1 = 0 \)
\( -5\lambda_1 = 0 \)
\( 6\lambda_1= 1 \)

Resolviendo obtengo sistema incompatible.

Pruebo con \( q_2(x)=x-a \)

\( 1\lambda_1 = 0 \)
\( -5\lambda_1 = 1 \)
\( 6\lambda_1= -a \)

Resolviendo obtengo sistema incompatible.

Entonces \( q_3 \) debe ser generado por \( h \).
\( 1\lambda_1 = 1 \)
\( -5\lambda_1 = -b-a \)
\( 6\lambda_1= ba \)

Paso a la matriz del sistema:
\( \begin{bmatrix}{1}&{1}\\{-5}&{-b-a}\\{6}&{ba}\end{bmatrix} \underbrace{\rightarrow}_{F_2+5F_1, F_3-6F_1} \begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{-b-a+5}\\{0}&{ba-6}\end{bmatrix} \)

Este sistema debe ser si o si compatible determinado, por lo que obtengo las 2 restricciones:
\( -b-a+5=0 \)
\( ba-6=0 \)

De la primera obtengo \( a=-b+5 \) y sustituyendo en la segunda obtengo \( -b^2+5b-6=0 \) y resolviendo por Bhaskara obtengo \( b=3 \) o \( b=2 \)
Por lo que las soluciones posible de \( (a,b) \) son \( (3,2) \) y \( (2,3) \).

¿Es correcto?

Páginas: [1] 2 3 4 5