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Mensajes - Fernando Revilla

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Cálculo 1 variable / Re: $$\int \sqrt{x^2-1}\ dx$$
« en: Hoy a las 06:23 pm »
(No me voy a detener en la determinación de esta serie de Maclaurin pues es muy sencilla y ganar tiempo) Entonces:
\( x\sqrt[ ]{1-\displaystyle\frac{1}{x^2}}=x-\left(\displaystyle\frac{1}{2x}\right)-\left(\displaystyle\frac{1}{2x^3}\right)-\left(\displaystyle\frac{3}{48x^5}\right)-\left(\displaystyle\frac{15}{384x^7}\right)-\left(\displaystyle\frac{105}{3840x^9}\right)-\left(\displaystyle\frac{945}{46080x^{11}}\right)-\,...=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left[\left(-1\right)^n\displaystyle\frac{\displaystyle{0.5\choose n}}{x^{2n-1}}\right] \)

Pero esa no es serie de Maclaurin de \( f(x)=\sqrt{x^2-1} \), es la serie de Laurent de \( f(z)=\sqrt{z^2-1} \) en un entorno de \( \infty \) restringida a la recta real.

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Sea \( \{ x_n \} \) dada por  \( x_0 > 0 \)  y \( x_{n+1} = \displaystyle\frac{1}{2}\left(x_n + \displaystyle\frac{a}{x_n} \right) \) con \( a>0 \). Encuentre el límite de la sucesión.

Aquí lo tienes resuelto https://fernandorevilla.es/2014/03/27/sucesion-recurrente-con-limite-raiz-de-2/.

P.D. Se adelantón Juan Pablo por instantes.

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Cálculo 1 variable / Re: $$\int \sqrt{x^2-1}\ dx$$
« en: Hoy a las 07:45 am »
También puedes intentarlo mediante series de potencias, como Newton nos enseñó

A diferencia del Desarrollo en serie de Maclaurin de $$(1+x)^p$$ y otros transformables en él, la función \( f(x)=\sqrt{x^2-1} \) no está definida en un entorno simétrico del origen. Esto implicaría elegir un \( x_0 \) con \( \left |{x_0}\right |>1 \) y desarrollar, derivar, estudiar la convergencia de la serie obtenida etc. No lo veo muy viable.

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Cálculo 1 variable / Re: $$\int \sqrt{x^2-1}\ dx$$
« en: Ayer a las 04:22 pm »
Tengo que realizar esta integral \( \displaystyle \int \sqrt{x^2-1}\ dx \), no creo que salga por partes ya que al derivar \( \sqrt{x^2-1} \) queda otra integral que no se resolver.

Aquí https://fernandorevilla.es/2014/05/04/dos-integrales-por-partes/ (apartado b), la tienes resuelta por partes.

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Cálculo 1 variable / Re: Límites convergentes.
« en: Ayer a las 08:08 am »
Cómo puedo graficar esta sucesión para mirar su comportamiento?, porque al parecer no es estrictamente monotona y esa era mi idea para mostrar que era convergente.

Mira https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=9181.msg37947#msg37947.

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Sea $$V$$ un espacio vectorial y $$v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n} n$$ vectores de $$V$$ linealmente independientes. Demuestre que los vectores
$$
\begin{array}{l}
u_{1}=v_{1} \\
u_{2}=v_{1}+v_{2} \\
\quad \vdots \\
v_{n}=v_{1}+y_{2}+\ldots, v_{n}
\end{array}
$$
son tambien linealmente independientes

De la igualdad \( \lambda_1v_{1}+\lambda_2 (v_{1}+v_{2})+\ldots \lambda_n(v_{1}+v_{2}+\ldots, v_{n})=0 \) se deduce

        \( (\lambda_1+\lambda_2+\ldots +\lambda_n)v_1+(\lambda_2+\ldots +\lambda_n)v_2+\ldots +\lambda_nv_n=0 \)

y al ser \( \left\{{v_1,v_2,\ldots,v_n}\right\} \) linealmente independientes,

        \( \begin{cases}\lambda_1+\lambda_2+\ldots +\lambda_n=0\\\lambda_2+\ldots +\lambda_n=0\\ \ldots\\\lambda_n=0.\end{cases} \)

Resolviendo el sistema obtendrás \( \lambda_1=\lambda_2=\ldots=\lambda_n=0 \).

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Cálculo de Varias Variables / Re: Derivada direccional y limite
« en: 15 Junio, 2021, 09:26 pm »
Habla de derivadada direccional, por tanto el vector en la dirección de \( (1,1) \) ha de ser unitario i.e. \( v=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1) \). Además, al ser \( f \) diferenciable en \( (1,0) \) (en realidad en todo \( \mathbb{R}^2 \)), por un conocido teorema:

        \( D_v(f)(0,1)=\nabla f(1,0)\cdot v=\displaystyle\left(\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(1,0),\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(1,0)\right)\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\ldots \)

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Álgebra / Re: Ejercicios transformaciones lineales (1)
« en: 14 Junio, 2021, 10:52 am »
    Bienvenido al foro. Por favor,

1. Dedica unos minutos al tutorial de LaTeX para escribir las fórmulas correctamente.
2. Sólo un problema por hilo. Abre dos nuevos hilos (numéralos (2) y (3)) para el segundo y tercer problema y luego bórralos de este.

Ejercicio 1
Sea:
\( S = \text{gen } { ( 4 ,2k - 6 , 2 ) , ( k , 9 , 3 ) } \subset{\mathbb{R}^3}  \)
a) Halle los valores de k para los cuales existe una T. L.  \(  T : \mathbb{R}^3 → \mathbb{R}^2 \) tal que \(  T \) es un epimorfismo y \( \text{Nu } ( T ) = S \).
b) Para alguno de los valores de \( k \) hallados, defina una transformación lineal \( T \).
que cumpla con las condiciones pedidas.

Para que exista una transformación lineal \(  T : \mathbb{R}^3 → \mathbb{R}^2 \) tal que \(  T \) es un epimorfismo y \( \text{Nu } ( T ) = S \) ha de verificarse por el teorema de las dimensiones \( 3=\dim \text{Nu } ( T )+2 \), es decir \( \dim \text{Nu } ( T )=1 \). Ahora verifica que

 \( \text{rg }\begin{bmatrix}{4}&{2k-6}&{2}\\{k}&{9}&{3}\end{bmatrix}=1\Leftrightarrow\ldots \Leftrightarrow k=6 \). Veamos como continúas.

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    Existe polémica sobre la dificultad excesiva o no de la prueba de matemáticas de Selectividad (Madrid, Junio 2021). Por ejemplo:

    https://www.elmundo.es/f5/descubre/2021/06/10/60c1cba4fdddff7d038b4599.html

    Incluyo el examen en un archivo anexo y la resolución del mismo en un vídeo.

   

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   Tenemos el sistema

        \( \begin{cases}a^2-b^2-c^2=0\\ma^2-nb^2-pc^2=0 \\m^2a^2-n^2b^2-p^2c^2=0\end{cases} \)

con incógnitas \( a^2,b^2,c^2. \) Entonces,

       \( \begin{vmatrix}{1}&{-1}&{-1}\\{m}&{-n}&{-p}\\{m^2}&{-n^2}&{-p^2}\end{vmatrix}=0\Leftrightarrow  \begin{vmatrix}{1}&{1}&{1}\\{m}&{n}&{p}\\{m^2}&{n^2}&{p^2}\end{vmatrix}=0. \)

P.D. Se adelantó Luis por "los pelos".


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Foro general / Re: Humor matemático.
« en: 09 Junio, 2021, 09:17 am »
Me es satisfactorio compartir en el foro el trabajo MULTIPLICATIVE ADMISSIBILITY FOR HYPER-COUNTABLE, SYMMETRIC, NEGATIVE PLANES.

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Se puede deducir la forma de la ecuación general de la recta \( r \) de la siguiente manera: sea \( (\alpha,\beta)\in r \). Entonces,

          \( (x_1,x_2)\in r \Leftrightarrow \mathbf{n}\perp (x_1-\alpha,x_2-\beta)\Leftrightarrow A(x_1-\alpha)+B(x_2-\beta) =0 \).

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Cálculo 1 variable / Re: Función biyectiva
« en: 07 Junio, 2021, 07:48 am »
A ver si entendí, hallo la derivada de $$f$$ y he llegado a lo siguiente $$f^{\prime}(x)=\frac{8(x-1/2)^2+2}{(-4x^2+4x)^2}$$ entonces como $$f^{\prime}$$ existe entonces es diferenciable (me queda la duda cuando $$x=0$$) y claramente esta función es positiva, por tanto, $$f$$ es estrictamente creciente, por lo cual es biyectiva.

Es correcto. Para \( x=0 \) no hay nada que estudiar pues por hipótesis el dominio es \( (0,1). \)

¿Por qué no se puede? A mi me da que es inyectiva. \( \dfrac{2x-1}{1-(2x-1)^{2}}=\dfrac{2y-1}{1-(2y-1)^{2}}\implies (y-x)(-2xy-1+x+y)=0. \) Luego, para que ese producto sea cero, basta que un factor sea cero, lo que implica que \( x=y. \)

No demuestras que necesariamente \( x=y \).

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Álgebra / Re: Como normizar una base unitaria?
« en: 03 Junio, 2021, 07:25 pm »
Ahora la verdad es que no se como se pueden normizar, para crear una base. Cada uno de los vectores tiene un valor absoluto de 2. Puedo dividir los vector propios por $$\sqrt[ ]{2}$$ , y decir que esos son mis vectores nuevos? Porque en ese caso el producto scalar seguiria siendo 0, pero el valor absoluto de cada vector seria 1. Aunque no se si eso es formal.

Es correcto y totalmente formal

Edit: Me he dado cuenta que para la matriz 2 mi producto escalar es $$\neq$$ 1, pero supongo que culpa de la unidad imaginaria.  :banghead:

El producto escalar de la columnas es cero. Ten en cuenta que \( \left<{(x_1,x_2),(y_1,y_2)}\right>=x_1\overline{y_1}+x_2\overline{y_2} \).

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Cálculo 1 variable / Re: Demostrar la igualdad
« en: 03 Junio, 2021, 05:40 pm »
Demostrar que: \( \displaystyle\int_{0}^{\infty}\,\displaystyle\frac{x^3}{\left(e^x-1\right)}\,dx=\displaystyle\frac{\pi^4}{15} \)

Mira https://math.stackexchange.com/questions/99843/contour-integral-for-x3-ex-1.

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(2) Hallar las coordenadas del vector \( p \in \mathbb{R}_3 \) tal que \( p(x)=20-28x+13x^2 -2x^3 \) en la base \( \mathfrak{B}_2 \)

No sólo por cuestión de elegancia, sino por mostrar la potencia y belleza de las matemáticas: tenemos

          \( \mathfrak{B}_2=\left\{{1,x-2,(x-2)^2, (x-2)^3}\right\}. \)

Método 1. Expresando \( p(x)=20-28x+13x^2 -2x^3=a_0\cdot 1+ a_1(x-2)+a_2(x-2)^2+a_3(x-2)^3 \), operando el segundo miembro, identificando coeficientes y resolviendo el sistema lineal resultante:

          \( (a_0,a_1,a_2,a_3)=(0,0,1,-2). \)

Método 2. Usando el correspondiente polinomio de Taylor:

          \( p(x)=p(2)\cdot 1+\displaystyle\frac{p^\prime (2)}{1!}(x-2)+\frac{p^{\prime\prime} (2)}{2!}(x-2)^2+\frac{p^{\prime\prime} (2)}{3!}(x-2)^3=0\cdot 1+0(x-1)+1(x-2)^2-2(x-2)^3 \)

i.e. \( (a_0,a_1,a_2,a_3)=(0,0,1,-2). \)

Método 3. Usando divisiones sucesivas:

          \( \begin{array}{r|rrrr}

& -2 & 13 & -28 & 20 \\

2 & & -4 & 18 & -20 \\

\hline & -2 & 9 & -10 & \boxed{0} \end{array}
 \)
          \( \begin{array}{r|rrr}

& -2 & 9 & -10 \\

2 & & -4 & 10 \\

\hline & -2 & 5 & \boxed{0} \end{array} \)
          \( \begin{array}{r|rr}

& -2 & 5 \\

2 & & -4 \\

\hline & \boxed{-2} & \boxed{1} \end{array} \)

i.e. \( (a_0,a_1,a_2,a_3)=(0,0,1,-2). \)   

P.D. Posiblemente veáis en el futuro los métodos 2 y 3 anteriores. Si no es así, que te quede como información general.   

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Por si quedara alguna duda:

Las ideas que has propuesto son correctas

Apostillo: lo de derivar para estudiar la indepencia lineal de funciones es todo un clásico, nada de genial idea. Lo de Taylor, claro, una vez visto el teorema.

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Dados \( a \in \mathbb{R} \) y \( n \in \mathbb{N} \) definimos el conjunto \( \mathfrak{B}_a \subset \mathbb{R}_k[x]  \) como \( \mathfrak{B} = \{p_i:i\in\{0,...,k\}\} \), donde \( p_i(x)=(x-a)^i,i=0,1,...,k \)
(1) Probar que \( \mathfrak{B} \) es base de \( \mathbb{R}_k[x] \)

Las ideas que has propuesto son correctas pero algo farragosas técnicamente. Mejor, de la igualdad

        \( \lambda_0\cdot 1+\lambda_1(x-a)+\lambda_2(x-a)^2+\ldots+\lambda_k(x-a)^k=0\qquad (*) \)

y dando a \( x \) el valor \( a \), obtendrás \( \lambda_0=0 \). Derivando sucesivamente la igualdad \( (*) \) obtendrás inmediatamente \( \lambda_1=\ldots=\lambda_k=0 \), por tanto \( \mathfrak{B} \) es sistema libre. Para ver que es sistema generador basta que apliques la fórmula de Taylor

        \( p(x)=p(a)\cdot 1+\displaystyle\frac{p^\prime (a)}{1!}(x-a)+\frac{p^{\prime\prime} (a)}{2!}(x-a)^2+\ldots+\frac{p^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \),

para todo \( p(x)\in \mathbb{R}_k[x] \).

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De oposición y olimpíadas / Re: Matriz potencia n
« en: 30 Mayo, 2021, 12:50 pm »
Si, pero usando las funciones de matrices, me sale que iría \( \displaystyle\frac{1}{2!}f''(a) \) Es correcto?

Sí, es correcto y para \( f(x)=x^n \), tenemos \( \displaystyle\frac{1}{2!}f''(a)=\frac{n(n-1)a^{n-2}}{2} \) que naturalmente es lo mismo que obtendrás por el método del binomio de Newton.

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