Buenas
Marcos Castillo,
Espero no "sobrecargar" el hilo.
Primero con tu duda:
...En ese caso tendría una duda que no sé concretar muy bien: ¿cómo sabe que \( \mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x \) es el área de la región limitada por la curva \( y=1/t \), el eje \( t \) y las rectas verticales \( t=1 \) y \( t=x \)?. ...
Como nos definen el logaritmo, pensémoslo como esa función que nos da el área debajo de \( f(t)=\dfrac{1}{t} \).
Entonces primero tenemos \( \ln(x+h) \) que es al área entre la recta \( y=1 \) e \( y=x+h \).
Luego le quitamos \( \ln(x) \) que es el área entre la recta \( y=1 \) e \( y=x \).
Puedes ayudarte de un dibujo para convencerte, esta operación nos dejara solamente con el área entre las rectas \( y=x \) e \( y=x+h \).
Luego si te han presentado las sumas superiores o inferiores puedes ayudarte de ellas, para aproximar / acotar el valor del logaritmo.
\( \dfrac{x-1}{x} \leq \ln(x) \leq x-1 \)
Aunque también es posible hacerlo con un argumento geométrico.
Espero haya sido de ayuda
.
Saludos,
Franco.