[Marcos Castillo]

Hola

Tengo un ejercicio resuelto ilustrativo y una cuestión teórica

Ejemplo 7 Resuelva el problema de valor inicial

\( \begin{cases}{y'=\dfrac{3+2x^2}{x^2}}\\y(-2)=1 \end{cases} \)

¿Dónde es válida la solución?

Solución

\( y=\displaystyle\int \left ({\dfrac{3}{x^2}+2}\right )dx=-\dfrac{3}{x}+2x+C \)

\( 1=y(-2)=\dfrac{3}{2}-4+C \)

Por tanto, \( C=\dfrac{7}{2} \) y

\( y=-\dfrac{3}{x}+2x+\dfrac{7}{2} \)

Aunque la solución parece estar definida para todo valor de \( x \) excepto el 0, el PVI sólo tiene solución para \( x<0 \). Esto se debe a que \( (-\infty,0) \) es el mayor intervalo que contiene al punto inicial -2 pero no \( x=0 \), donde la \( y \) está indefinida

Cito el texto de la cuestión teórica:

El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que aparece en dicha ecuación. La ED del ejemplo 5 (\( x^2y''-xy'-3y=0 \)) es de segundo orden ya que en ella interviene \( y'' \), y no hay derivadas de \( y \) de orden superior. Nótese que en la solución que se ha verificado en el ejemplo 5 intervienen dos constantes arbitrarias, \( A \) y \( B \). Esta solución se denomina solución general de la ecuación, ya que se puede demostrar que cualquier solución es de esta forma, dando valores concretos a las constantes \( A \) y \( B \). Se obtiene una solución particular de la ecuación asignando valores concretos a esas constantes. En la solución general de una ecuación diferencial de orden \( n \) aparecen \( n \) constantes arbitrarias.
Un problema de valor inicial (PVI) está formado por:

(a) una ecuación diferencial (para resolverla encontrando una función desconocida) y
(b) valores de la solución y de un número suficiente de sus derivadas en un punto determinado (el punto inicial) para determinar los valores de todas las constantes arbitrarias en la solución general de la ED y obtener, así, una solución particular.

Observación Es habitual utilizar el mismo símbolo, por ejemplo \( y \), para indicar la variable independiente y la función solución de una ED o de un PVI. Es decir, la función solución se denominará \( y=y(x) \), en vez de \( y=f(x) \).

Observación La solución de un PVI es válida en el máximo intervalo que contenga a los puntos iniciales donde se define la función solución.

Es esta última observación: no entiendo por qué la solución es válida en el máximo intervalo que contenga al punto inicial.

¡Un saludo!

[Juan Pablo Sancho]

Si usas el ejemplo que pusiste \(  y = -\dfrac{3}{x} + 2 \cdot x + \dfrac{7}{2}  \) e  intentas prolongar el intervalo para los no negativos te saldrá que la función \( y \) no es derivable en \( x=0 \) en contra de ser una solución.

[Marcos Castillo]

¡Puf! Muchas gracias. Adjunto imagen de la primitiva para \( C=0 \), \( f \) y para \( C=\dfrac{7}{2} \), \( g \), que pasa por el punto \( (-2,1) \). Se ve muy gráficamente.



¡Un saludo!