Como demostrarías topo que:
\( \displaystyle\lim_{x \to 0}\quad \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{Sen^4(x)-Tan^5(2x)}{|x-Ln^2(1+x)|^4}}=1 \)
¿con L'Hopital ó con la \( \epsilon-\delta \), ó quizás mejor con el teorema del sandwich?
Pues es muy fácil aplicando las propiedades de los infinitésimos porque basta con hacer lo siguiente:
\( \displaystyle\lim_{x \to 0}\quad \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{Sen^4(x)-Tan^5(2x)}{|x-Ln^2(1+x)|^4}}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\quad \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{Sen^4(x)}{|x|^4}}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\quad {\displaystyle\frac{Sen^2(x)}{x^2}}=1 \)
Saludos, Jabato. 
Jabato, realmente no entiendo hacia donde quieres seguir con esta discusion, te dije anteriormente que
Los infinitesimos en si no tienen nada de malo, es una forma abreviada de hacer determinados limites, nos ahorra pasos "tediosos" si se quiere.
Lo que a mi parecer esta mal es que
Si bien son útiles para calcular limites, usarlos sin justificación no me parece correcto matemáticamente, mas todavía en un curso inicial.
Me parece que la conclusión esta clara para todos:
. los infinitesimos son útiles si están adecuadamente explicados
. sin una explicación adecuada en algunos casos pueden resultar engañoso usarlos
(pero esto mismo se puede explicar a otros tópicos, como derivadas, L'Hopital, calculadora científica, etc. Son herramientas muy poderosas que pueden ayudarnos mucho, pero tienen limitaciones e ignorar estas limitaciones pueden causar problemas).
Por ejemplo esta bien o esta mal demostrar que \( \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1 \) usando infinitesimos?
PD: Como alumno lo que yo haría en tu ejemplo es aplicar álgebra de limites, es decir multiplicar y dividir por \( x^4 \) dentro de la raíz, pero antes me aseguraría de que lo que esta bajo la raíz no sea negativo en un entorno de 0.
Como profesor nunca pondría un ejercicio de este estilo en un primer curso de calculo, es complicado sin motivo aparente y no se sabe que conocimiento es lo que esta evaluando.
