[bacteria]

Hola aquí envío otra duda de matrices

Tomando en cuenta que una matriz es semidefinida positiva, cuando \( XAX^T\geq{0} \) para todo x, y, z \( \in{} \) \( \mathbb{R} \)¿es válido demostrar la aseveración para la matriz A asignando a la matríz X un valor arbitrario?

Por ejemplo:

dada la matriz \( \left[{\begin{matrix}{1}&{0}&{-1/2}\\{0}&{1}&{0}\\{-1/2}&{0}&{1}\end{matrix}\right] \), asigno el valor arbitrario a X= \( \left[{\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{1}\end{array}\right] \), entonces \( X^T= \left[{\begin{array}{ccc}{1}\\{1}\\{1}\end{array}\right] \) y \( XAX^T=2 \), es decir es \( \geq{0} \) y se concluye que es semidefinida positiva.....¿Es correcto?

Saludos y muchas gracias por su tiempo

bacteria

[León]

¡Hola!

No, no es válido. 'Para todo x,y,z' quiere decir justamente eso 'para todo x,y,z'.

Fijate por ejemplo que si la matriz es \( \left[{\begin{matrix}3&0&0\\0&2&0\\0&0&-1\end{matrix}\right] \) y probás ensangucharla con (1,1,1), queda \( XAX^T=4 \) pero si la ensanguchás con (0,0,1) queda \( XAX^T=-1 \).

Para la matriz que vos mostrás se puede razonar que, por ejemplo, \( XAX^T = x^2+y^2+z^2-xz = \frac{x^2}2+y^2+\frac{z^2}2+(\frac{x-z}2)^2 \) que es siempre positivo (una suma de cuadrados). Claro que habría que avivarse de cómo escribir las cosas para que quede una suma de cuadrados, lo que no siempre es fácil.

Hay un criterio que se usa para ver si una matriz es definida positiva, que no sé si habrás estudiado (tiene que ver con los determinantes de unas submatrices). Además una matriz es semidefinida positiva si todos sus autovalores son positivos o cero.

Acá tenés un resumen de este tema... pero es el primero que vi. Con el google vas a encontrar mejores.