[Dark]

$$\left\{{a_n}\right\}\subseteq{\mathbb{R}}$$ y sea $$b_n=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_n}$$ para todo $$n\in \mathbb{N}$$.

Si $$\left\{{a_n}\right\}$$ es acotada, muestre que $$\displaystyle\lim_{}{sup\ b_n}\leq{}\displaystyle\lim_{}{sup\ a_n}$$

Entiendo que si es acotada supeiormente por $$M$$ entonces $$\displaystyle\lim_{}{sup\ a_n}=M$$, si fuera positiva sería claro pero se me ha complicado porque es simplemente una sucesión real.

[Masacroso]

Entiendo que si es acotada supeiormente por $$M$$ entonces $$\displaystyle\lim_{}{sup\ a_n}=M$$

Esto no es cierto, es decir, en general \( \limsup_{n\to\infty}a_n\neq \sup_{n\in \mathbb{N}}a_n\leqslant M \), por ejemplo la sucesión \( \{1/n\}_{n\in \mathbb N} \) está acotada por \( 2 \) y \( \limsup_{n\to\infty}1/n=0\neq \sup_{n\in \mathbb{N}}1/n=1 \).

Una idea: define \( a^*_n:=\sup_{k\geqslant n}a_k \) y \( b^*_n:=\sup_{k\geqslant n}b_k \), entonces tienes que \( \limsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a^*_n \) y \( \limsup_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}b^*_n \). Entonces si demuestras que \( b^*_n\leqslant a^*_n \) para todo \( n\geqslant N \), para algún \( N\in \mathbb{N} \), tomando límites ya tienes demostrada la desigualdad que buscabas.

[Dark]

No logro ver aún como formalizar la demostración, pero puedo ver que no siempre $$a_k\geq b_k$$ pero si puedo ver a través de ejemplos que $$\text{sup}_{k\geq n}a_k\geq \text{sup}_{k\geq n}b_k$$, es decir, la idea es como tomar el máximo de $$a_k$$ que será mayor o igual al máximo de $$b_k$$

Por ejemplo, si $$a_n$$ es creciente es fácil ver que el termino $$a_n$$ será el máximo, pero no sé como podría compararlo con el máximo de $$b_n$$, el cuál se desconocería.

[Masacroso]

No logro ver aún como formalizar la demostración, pero puedo ver que no siempre $$a_k\geq b_k$$ pero si puedo ver a través de ejemplos que $$\text{sup}_{k\geq n}a_k\geq \text{sup}_{k\geq n}b_k$$, es decir, la idea es como tomar el máximo de $$a_k$$ que será mayor o igual al máximo de $$b_k$$

Por ejemplo, si $$a_n$$ es creciente es fácil ver que el termino $$a_n$$ será el máximo, pero no sé como podría compararlo con el máximo de $$b_n$$, el cuál se desconocería.

está mal

Pista: demuestra que la desigualdad \( a^*_n<b^*_n \) es imposible, para todo \( n \).

[cerrar]

Lo del spoiler está mal... creía que funcionaría pero claramente no lo hace, basta tomar una sucesión decreciente para darse cuenta. De la misma manera mi primera respuesta en este hilo tampoco ayuda mucho. Creo que una demostración por contradicción es lo adecuado en este caso, es decir, demostrar que si asumimos que \( \limsup_{n\to\infty}a_n<\limsup_{n\to\infty}b_n \) llegamos a una contradicción.

Otra idea es observar que existe una subsucesión \( \{a_{m_n}\}_{n\in \mathbb N} \) tal que \( \lim_{n\to\infty}a_{m_n}=\limsup_{n\to\infty}a_n \), y a partir de ahí observar que si definimos \( c_n:=\frac1{n}\sum_{k=1}^n a_{m_n} \) entonces \( \lim_{n\to\infty}c_n=\limsup_{n\to\infty}a_n \) e intentar relacionar \( b_n \) y \( c_n \), por ejemplo ver si \( b_n\leqslant c_n \) para todo \( n \), lo cual sería trivial si podemos tomar la subsucesión \( \{a_{m_n}\}_{n\in \mathbb N} \) de tal modo que \( a_n\leqslant a_{m_n} \) para todo \( n \).

Corregido.

[Dark]

como la sucesión es acotada entonces la subsucesión converge a un $$L$$, entonces por definición de límite para todo \( \epsilon>0 \) existe un \( N>0 \) tal que:

\(  n>N\quad \Rightarrow{}\quad |x_{m_n}-L|<\epsilon \)

 Ahora para \( n>N \):

\(  |\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{m=1}^n{}x_{m_n}-L|=\dfrac{1}{n}|\displaystyle\sum_{m=1}^n{}(x_{m_n}-L)|=\dfrac{1}{n}|(\displaystyle\sum_{m=1}^{N-1}{}(x_{m_n}-L)+\displaystyle\sum_{m=N}^n{}(x_{m_n}-L)|\leq \dfrac{1}{n}|(\displaystyle\sum_{m=1}^N{}(x_{m_n}-L)|+\dfrac{n-N+1}{n}\epsilon \)

He logrado llegar aquí, no sé si este bien el proceso. De estar bien, creo que lo siguiente sería llegar a que \( \dfrac{1}{n}|(\displaystyle\sum_{m=1}^N{}(x_{m_n}-L)|+\dfrac{n-N+1}{n}\epsilon \) sea menor o igual a $$\epsilon$$ lo que aún no veo claro.
 

[Masacroso]

como la sucesión es acotada entonces la subsucesión converge a un $$L$$, entonces por definición de límite para todo \( \epsilon>0 \) existe un \( N>0 \) tal que:

\(  n>N\quad \Rightarrow{}\quad |x_{m_n}-L|<\epsilon \)

 Ahora para \( n>N \):

\(  |\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{m=1}^n{}x_{m_n}-L|=\dfrac{1}{n}|\displaystyle\sum_{m=1}^n{}(x_{m_n}-L)|=\dfrac{1}{n}|(\displaystyle\sum_{m=1}^{N-1}{}(x_{m_n}-L)+\displaystyle\sum_{m=N}^n{}(x_{m_n}-L)|\leq \dfrac{1}{n}|(\displaystyle\sum_{m=1}^N{}(x_j-L)|+\dfrac{n-N+1}{n}\epsilon \)

He logrado llegar aquí, no sé si este bien el proceso. De estar bien, creo que lo siguiente sería llegar a que \( \dfrac{1}{n}|(\displaystyle\sum_{m=1}^N{}(x_j-L)|+\dfrac{n-N+1}{n}\epsilon \) sea menor o igual a $$\epsilon$$ lo que aún no veo claro.
 

Este hilo reciente te ayudará en eso:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=117060.msg468921

[Dark]

Entonces simplemente, tenemos que para un $$n$$ suficientemente grande \( \dfrac{1}{n}|(\displaystyle\sum_{m=1}^N{}(x_{m_n}-L)|+\dfrac{n-N+1}{n}\epsilon<\epsilon \).

Teniendo esto, concluyo que $$\lim_{}{a_{m_n}}=\lim\text{sup}\ a_n$$

Pero no me queda claro, cuando dices que $$b_n\leq c_n$$ para todo $$n$$, lo cual sería trivial si podemos tomar la subsucesión $$\left\{{a_{m_n}}\right\}_{n\in \mathbb N}$$ de tal modo que $$a_n\leq a_{m_n}$$ para todo $$n$$.

Por qué no podría tomar $$a_n\geq a_{m_n}$$?

[Masacroso]

Por qué no podría tomar $$a_n\geq a_{m_n}$$?

Si ocurre que \( a_n\leqslant a_{m_n} \) para todo \( n \) entonces tienes que \( b_n\leqslant c_n \) para todo \( n \), y por tanto \( b^*_n\leqslant c^*_n \) para todo \( n \), y tomando límites en la última desigualdad obtienes la demostración que querías. Sin embargo si pudieses tomar \( a_n\geqslant a_{m_n} \) entonces tendrías que el límite de \( \{a_n\}_{n\in \mathbb N} \) existe (ya que el límite superior es el mayor punto de acumulación del conjunto definido por los valores de la sucesión) y simplemente demostrarías la igualdad \( \limsup_{n\to\infty}b_n=\limsup_{n\to\infty}a_n \), sin embargo el límite de \( \{a_n\}_{n\in \mathbb N} \) no tiene por qué existir, así que en general no puedes tomar la desigualdad \( a_n\geqslant a_{m_n} \).

Es decir, te queda demostrar que siempre puedes tomar \( a_n\leqslant a_{m_n} \), para ello necesitarás utilizar la definición de límite superior y construir una sucesión \( a_{m_n} \) que converja al límite superior y que cumpla la anterior desigualdad, para ello te serán útiles los valores \( a^*_n \) (que te aviso de antemano que no tienen por qué pertenecer a la sucesión).