[FerOliMenNewton]

Hola,
Tratando de resolver un problema de sistemas dinámicos, me surgió probar lo siguiente:
Consideren la función \( f(x)=\displaystyle\frac{5}{2}x(1-x) \), si \( x\in{  \left(0,\displaystyle\frac{2}{5} \right)} \), entonces existe una \( n\in{\mathbb{N}} \) tal que \( f^{n}(x)\in{ \left[\displaystyle\frac{2}{5},\displaystyle\frac{3}{5} \right]} \), donde \( f^{n} \) denota la composición de \( f \) con ella misma \( n \) veces.
Al gráficar \( f^{n} \) para varios valores de \( n \) es claro que eventualmente esto pasa, pero no he tenido éxito en probarlo de manera más rigurosa. Además de que los libros que he visto usan el argumento "el análisis gráfico muestra que..." pero me gustaría buscar un argumento más formal que ese jaja. ¿Alguna sugerencia?.
De antemano gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,
Tratando de resolver un problema de sistemas dinámicos, me surgió probar lo siguiente:
Consideren la función \( f(x)=\displaystyle\frac{5}{2}x(1-x) \), si \( x\in{  \left(0,\displaystyle\frac{2}{5} \right)} \), entonces existe una \( n\in{\mathbb{N}} \) tal que \( f^{n}(x)\in{ \left[\displaystyle\frac{2}{5},\displaystyle\frac{3}{5} \right]} \), donde \( f^{n} \) denota la composición de \( f \) con ella misma \( n \) veces.
Al gráficar \( f^{n} \) para varios valores de \( n \) es claro que eventualmente esto pasa, pero no he tenido éxito en probarlo de manera más rigurosa. Además de que los libros que he visto usan el argumento "el análisis gráfico muestra que..." pero me gustaría buscar un argumento más formal que ese jaja. ¿Alguna sugerencia?.
De antemano gracias.

Tienes que si \( x\in (0,4/5) \):

\( \left|f(x)-\dfrac{3}{5}\right|=\dfrac{5}{2}\left|x-\dfrac{3}{5}\right|\left|x-\dfrac{2}{5}\right|<\left|x-\dfrac{3}{5}\right| \)

Además  si \( x\in (0,1) \), \( x(1-x)<1/4 \) y \( f(x)<5/8 \).

Por tanto dado \( x_0\in (0,2/5) \) si definimos \( x_n=f(x_{n-1}) \) deduce que \( x_n\to \dfrac{3}{5} \).

Además:

\( \left(\dfrac{3}{5}-f(x)\right)=\dfrac{5}{2}\left(x-\dfrac{3}{5}\right)\left(x-\dfrac{2}{5}\right) \)

si \( x_n>3/5 \) entonces \( x_{n+1}<3/5 \).

Con esto ya lo tienes.

Saludos.

[FerOliMenNewton]

Okay, ya lo veo .
!Muchas gracias!
Saludos.

[SebasMM]

Creo que otra forma de verlo(aunque tal vez más complicada que la que dijo Luis), es la siguiente:
Supón por el contrario que existe un \( x\in{   \left(     0,\displaystyle\frac{2}{5}          \right)       } \) tal que \( f^{n}(x)\in{\left(     0,\displaystyle\frac{2}{5}          \right) } \) para toda \( n \). Dado que \( x<f(x) \)(ya que \( 0<x<\displaystyle\frac{2}{5} \)) y que \( f \) es estrictamente creciente en \( \left(     0,\displaystyle\frac{2}{5}          \right)  \), se tiene que \( \left\{{f^{n}(x)}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}} \) es una sucesión estrictamente creciente acotada superiormente por \( \displaystyle\frac{2}{5} \), por tanto converge. Pero si esa sucesión converge, debe converger a un punto fijo, luego como el límite de la sucesión debe ser menor o igual que \( \displaystyle\frac{2}{5} \), se sigue que dicho punto fijo es el cero, pero esto es imposible ya que el cero es punto fijo repulsor. Consiguientemente, existe una \( n \) tal que \( f^{n}(x)\in{[2/5,3/5]} \).

[Luis Fuentes]

Hola

Creo que otra forma de verlo(aunque tal vez más complicada que la que dijo Luis), es la siguiente:
Supón por el contrario que existe un \( x\in{   \left(     0,\displaystyle\frac{2}{5}          \right)       } \) tal que \( f^{n}(x)\in{\left(     0,\displaystyle\frac{2}{5}          \right) } \) para toda \( n \). Dado que \( x<f(x) \)(ya que \( 0<x<\displaystyle\frac{2}{5} \)) y que \( f \) es estrictamente creciente en \( \left(     0,\displaystyle\frac{2}{5}          \right)  \), se tiene que \( \left\{{f^{n}(x)}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}} \) es una sucesión estrictamente creciente acotada superiormente por \( \displaystyle\frac{2}{5} \), por tanto converge. Pero si esa sucesión converge, debe converger a un punto fijo, luego como el límite de la sucesión debe ser menor o igual que \( \displaystyle\frac{2}{5} \), se sigue que dicho punto fijo es el cero, pero esto es imposible ya que el cero es punto fijo repulsor. Consiguientemente, existe una \( n \) tal que \( f^{n}(x)\in{[2/5,3/5]} \).

Pero ahí falta algo para justificar que si no está en \( (0,2/5) \) entonces está en \( [2/5,3/5] \). ¿No?. Podría valer más de \( 3/5 \), por ejemplo.

Saludos.

[SebasMM]

Hola,
Sí, es verdad  , pero creo que podemos solucionar eso como sigue:
Lo anterior muestra que el conjunto \( M=\left\{{n\in{\mathbb{N}}} : f^{n}(x) \not\in  (0,2/5)   \right\} \) es no vacío. Por el principio del buen orden, \( M \) tiene un elemento mínimo \( N \), por tanto se satisface que \( f^{N-1}(x)\in{(0,2/5)} \). Ahora bien, \( f \) es creciente en \( [0,1/2] \), por tanto \( f^{N}(x)<f(2/5)=3/5 \), y dado que \( f^{N}(x) \) no está en \( (0,2/5) \), debe estar entonces en \( [0,3/5] \). ¿Qué os parece?.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,
Sí, es verdad  , pero creo que podemos solucionar eso como sigue:
Lo anterior muestra que el conjunto \( M=\left\{{n\in{\mathbb{N}}} : f^{n}(x) \not\in  (0,2/5)   \right\} \) es no vacío. Por el principio del buen orden, \( M \) tiene un elemento mínimo \( N \), por tanto se satisface que \( f^{N-1}(x)\in{(0,2/5)} \). Ahora bien, \( f \) es creciente en \( [0,1/2] \), por tanto \( f^{N}(x)<f(2/5)=3/5 \), y dado que \( f^{N}(x) \) no está en \( (0,2/5) \), debe estar entonces en \( [0,3/5] \). ¿Qué os parece?.

Bien.

Saludos.