Autor Tema: Numero de matrices 2x2 formadas por 0's y 1's

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11 Abril, 2021, 08:25 pm
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franma

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Buenas,

El ejercicio dice lo siguiente:

Determine cuantas matrices de ceros y unos de tamaño 2 tienen determinante 0. ¿Cuántas matrices de ceros y unos hay en total?

Cada matriz 2x2 tiene 4 lugares disponibles, y cada uno de estos puede tomar 2 valores, así que seria \( 2^4 \) matrices totales.
Aquí es donde me pierdo, contándolas a mano me dio 9, pero no sabría como conseguir este resultado a partir de cuentas.

¿A alguien se lo ocurre algo?

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

11 Abril, 2021, 08:40 pm
Respuesta #1

sugata

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Has calculado todas las matrices con ceros y unos que son  \( 2^4 \) pero te piden las que sean de determinante 0.
¿Cuales has calculado tu a mano?

11 Abril, 2021, 09:09 pm
Respuesta #2

franma

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Hola

Has calculado todas las matrices con ceros y unos que son  \( 2^4 \) pero te piden las que sean de determinante 0.
¿Cuales has calculado tu a mano?

He "dibujado" y contado a mano todas las 2x2 (formadas por 0's y 1's) que tuviesen determinante 0.
En total son 9 que cumplen la condición, el problema es que (si el resultado es correcto) no se como conseguirlo a partir de cuentas o razonamiento ( que no sea ir contando cada una a mano).

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

11 Abril, 2021, 10:03 pm
Respuesta #3

Fernando Revilla

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He "dibujado" y contado a mano todas las 2x2 (formadas por 0's y 1's) que tuviesen determinante 0. En total son 9 que cumplen la condición, el problema es que (si el resultado es correcto) no se como conseguirlo a partir de cuentas o razonamiento ( que no sea ir contando cada una a mano).

Para la primera columna tienes \( 4 \) opciones: \( \begin{bmatrix}{0}\\{0}\end{bmatrix}, \) \( \begin{bmatrix}{1}\\{0}\end{bmatrix}, \) \( \begin{bmatrix}{0}\\{1}\end{bmatrix}, \) \( \begin{bmatrix}{1}\\{1}\end{bmatrix}. \) Por otra parte la matriz \( A \) tiene determinante \( 0 \) si y sólo si alguna de las dos columnas es combinación lineal de la otra. Entonces, \( \begin{bmatrix}{0}\\{0}\end{bmatrix} \) te dará \( 4 \) opciones para la segunda columna, y para las restantes opciones de la primera columna tienes \( 2 \) opciones para la segunda. Total, \( 4+2+2+2=10 \) matrices tienen determinante nulo.       

11 Abril, 2021, 10:07 pm
Respuesta #4

Masacroso

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el problema es que (si el resultado es correcto) no se como conseguirlo a partir de cuentas o razonamiento ( que no sea ir contando cada una a mano).

Saludos,
Franco.

Parece que no hay una fórmula para contar tales matrices, mira aquí:

https://mathoverflow.net/questions/18636/number-of-invertible-0-1-real-matrices

11 Abril, 2021, 10:29 pm
Respuesta #5

sugata

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A parte de la forma de Fernando, yo tengo otra a lo bruto.
Si ponemos \( \begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix} \)
El determinante es cero si \( ad-bc=0\Rightarrow{}ad=bc \)
Esto se cumple si \( ad=bc=1 \) o si \( ad=bc=0 \)
La primera solo se cumple si son todo unos, para la segunda si son todo ceros o colocamos al menos un cero en \( ad \) y otro en \( bc \).
Es mucho más engorroso, pero también sale.

11 Abril, 2021, 11:19 pm
Respuesta #6

franma

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Gracias a todos por los aportes,

Parece que conté mal las matrices y al final eran 10.

Que tengan un buen día,
Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

11 Abril, 2021, 11:34 pm
Respuesta #7

feriva

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A mí me salen 9 también; y no encuentro la que me falta.

Considero los determinantes por cofactores y cuento los que dan determinante distintos de cero; esto pasa con las diagonales con unos: \( \left(\begin{array}{cc}
1\\
 & 1
\end{array}\right)
  \), \( \left(\begin{array}{cc}
 & 1\\
1
\end{array}\right)
  \) (salen cuatro matrices en realidad si consideramos cada 1, pero se repiten dos matrices).

Ahora, las disposiciones posibles en cada diagonal (la que queda libre sin unos) también es de cuatro configuraciones distintas, como en las filas o columnas. Serían 8 matrices distintas en principio, pero la configuración (1,1) en la diagonal hace que tengamos la misma matriz en los dos casos. Entonces quedan siete con determinante distinto de cero; y como son 16 matrices en total, 16-7 da 9...
No veo la que falta.

 8^) Ya lo he visto, la de unos no da determinante distinto de cero, hay que quitar las dos
Saludos.

12 Abril, 2021, 01:07 am
Respuesta #8

sugata

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A mí me salen 9 también; y no encuentro la que me falta.

Considero los determinantes por cofactores y cuento los que dan determinante distintos de cero; esto pasa con las diagonales con unos: \( \left(\begin{array}{cc}
1\\
 & 1
\end{array}\right)
  \), \( \left(\begin{array}{cc}
 & 1\\
1
\end{array}\right)
  \) (salen cuatro matrices en realidad si consideramos cada 1, pero se repiten dos matrices).

Ahora, las disposiciones posibles en cada diagonal (la que queda libre sin unos) también es de cuatro configuraciones distintas, como en las filas o columnas. Serían 8 matrices distintas en principio, pero la configuración (1,1) en la diagonal hace que tengamos la misma matriz en los dos casos. Entonces quedan siete con determinante distinto de cero; y como son 16 matrices en total, 16-7 da 9...
No veo la que falta.

 8^) Ya lo he visto, la de unos no da determinante distinto de cero, hay que quitar las dos
Saludos.

Si ves mi mensaje, hay que poner una de todo unos y otra de todo ceros; ambas de determinante 0

12 Abril, 2021, 11:14 am
Respuesta #9

feriva

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A mí me salen 9 también; y no encuentro la que me falta.

Considero los determinantes por cofactores y cuento los que dan determinante distintos de cero; esto pasa con las diagonales con unos: \( \left(\begin{array}{cc}
1\\
 & 1
\end{array}\right)
  \), \( \left(\begin{array}{cc}
 & 1\\
1
\end{array}\right)
  \) (salen cuatro matrices en realidad si consideramos cada 1, pero se repiten dos matrices).

Ahora, las disposiciones posibles en cada diagonal (la que queda libre sin unos) también es de cuatro configuraciones distintas, como en las filas o columnas. Serían 8 matrices distintas en principio, pero la configuración (1,1) en la diagonal hace que tengamos la misma matriz en los dos casos. Entonces quedan siete con determinante distinto de cero; y como son 16 matrices en total, 16-7 da 9...
No veo la que falta.

 8^) Ya lo he visto, la de unos no da determinante distinto de cero, hay que quitar las dos
Saludos.

Si ves mi mensaje, hay que poner una de todo unos y otra de todo ceros; ambas de determinante 0

Pero en este caso es distinto a lo que dice Fernando, es al revés. Considero las diagonales de unos, la principal y la otra (no se considera la de todo ceros entonces) y las variaciones con las diagonales para encontrar todas las que tienen determinante distinto de cero. Entonces son estos dos casos \( \left(\begin{array}{cc}
1 & a\\
b & 1
\end{array}\right)
  \), \( \left(\begin{array}{cc}
b & 1\\
1 & a
\end{array}\right)
  \) con las cuantro posibilidades para las diagonales (a,b) y (b,a) en cada matriz; si las posibilidades son (1,1); (0,0);(1,0); (0,1) entonces hacen 4+4=8 matrices. Pero las posibilidades (a,b)=(1,1) y (b,a)=(1,1) supone que las dos matrices sean la misma. Luego quitando una de éstas \( \left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & 1
\end{array}\right)
  \) ya sea en el caso \( \left(\begin{array}{cc}
1 & a\\
b & 1
\end{array}\right)
  \) o en \( \left(\begin{array}{cc}
b & 1\\
1 & a
\end{array}\right)
  \) quedan siete matrices distintas. Sin embargo, hay que quitarla en los dos sitios [para el caso de la diagonal (a,b)=(1,1) y para (b,a)=(1,1)] porque el determinante es cero, no distinto. Luego quedan 8-2=6 matrices que tienen determinante distinto de cero. Restándolas de las totales, 16-6=10 que tienen determinante 0.

Saludos.