Autor Tema: Periodo de una expansión decimal

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10 Abril, 2021, 10:27 pm
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FerOliMenNewton

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Hola,
Recientemente empecé a estudiar fracciones continuas y encontré este ejercicio en la sección de ejercicios:
Sea \( d\in{\mathbb{Z}} \) tal que \( 1 \) y \( 10 \) son primos relativos. Probar que la expansión decimal de \( \displaystyle\frac{1}{d} \) tiene un periodo igual al orden de \( 10 \) módulo \( d \).
Mi pregunta es: ¿cómo se aborda exactamente el problema desde el punto de vista de las fracciones continuas?
Porque sin hacer uso de eso, lo que hice fue lo siguiente:
Si \( r \) es el orden de \( 10 \) módulo \( d \). Entonces \( r \) es el entero positivo más pequeño que satisface \( 10^{r} \equiv{1}\textrm{ mod d} \) y por definición de congruencia existe un \( q \) entero tal que
\( 10^{r}-1=qd \)
\( \displaystyle\frac{10^r}{d}=\displaystyle\frac{1}{d}+q \)
Ahora bien, sea \( p \) el periodo de \( \displaystyle\frac{1}{d} \), entonces \( \displaystyle\frac{1}{d}=0.\overline{a_{1}...a_{p}} \), de acuerdo con la ecuación anterior se tiene entonces que
\( a_{1}\ldots a_{r}.a_{r+1}a_{r+2}...=q.\overline{a_{1}...a_{p}} \)
De donde, dado que \( r \) es el más pequeño que satisface esto, tenemos que \( r=p \).
Pero como ven, no usé nada de fracciones continuas. Y ahora que lo pienso tampoco usé el hecho de que \( 10 \) y \( d \) son primos relativos, pero supongo que esa hipótesis sirve para que el periodo esté "bien" definido no? Ya que por ejemplo \( 1/12=0.8\overline{3} \) y ahí no podemos decir que el periodo sea \( 2 \).
Saludos.

10 Abril, 2021, 11:49 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola,
Recientemente empecé a estudiar fracciones continuas y encontré este ejercicio en la sección de ejercicios:
Sea \( d\in{\mathbb{Z}} \) tal que \( 1 \) y \( 10 \) son primos relativos. Probar que la expansión decimal de \( \displaystyle\frac{1}{d} \) tiene un periodo igual al orden de \( 10 \) módulo \( d \).
Mi pregunta es: ¿cómo se aborda exactamente el problema desde el punto de vista de las fracciones continuas?
Porque sin hacer uso de eso, lo que hice fue lo siguiente:
Si \( r \) es el orden de \( 10 \) módulo \( d \). Entonces \( r \) es el entero positivo más pequeño que satisface \( 10^{r} \equiv{1}\textrm{ mod d} \) y por definición de congruencia existe un \( q \) entero tal que
\( 10^{r}-1=qd \)
\( \displaystyle\frac{10^r}{d}=\displaystyle\frac{1}{d}+q \)
Ahora bien, sea \( p \) el periodo de \( \displaystyle\frac{1}{d} \), entonces \( \displaystyle\frac{1}{d}=0.\overline{a_{1}...a_{p}} \), de acuerdo con la ecuación anterior se tiene entonces que
\( a_{1}\ldots a_{r}.a_{r+1}a_{r+2}...=q.\overline{a_{1}...a_{p}} \)
De donde, dado que \( r \) es el más pequeño que satisface esto, tenemos que \( r=p \). [/color]

No entiendo la parte final. No entiendo porque pones \( a_{1}\ldots a_{r}.a_{r+1}a_{r+2}... \) con \( r \) cifras de la parte entera, no como concluyes de ahí que \( r=p \).

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Saludos.

11 Abril, 2021, 02:11 am
Respuesta #2

FerOliMenNewton

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Hola,
Bueno, es que de esa ecuación tenemos que \( a_{i+r}=a_{i} \) no?  De ahí deduje que \( r \) debe ser un múltiplo del periodo pero si  \( r \) era el más pequeño que satisfacía esas ecuaciones, entonces \( r=p \). ¿Estoy omitiendo algo?.
Saludos.

11 Abril, 2021, 10:47 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Bueno, es que de esa ecuación tenemos que \( a_{i+r}=a_{i} \) no?  De ahí deduje que \( r \) debe ser un múltiplo del periodo pero si  \( r \) era el más pequeño que satisfacía esas ecuaciones, entonces \( r=p \). ¿Estoy omitiendo algo?.
Saludos.

Vale, ya lo entendí.

Por cierto usas que \( 10 \) y de son primos realtivos desde el momento que supones \( 10^r\equiv 1 \) mod \( d \). Esto solo es posible si \( 10 \) y \( d \) con coprimos (para \( r>0 \)).

Saludos.

12 Abril, 2021, 02:09 am
Respuesta #4

FerOliMenNewton

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Hola,

Por cierto usas que \( 10 \) y de son primos realtivos desde el momento que supones \( 10^r\equiv 1 \) mod \( d \). Esto solo es posible si \( 10 \) y \( d \) con coprimos (para \( r>0 \)).

Saludos.
Sí, es verdad! Muchas gracias :D.
Saludos.