Autor Tema: Homeomorfismo y embebimiento

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09 Abril, 2021, 08:06 pm
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mss

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Buenas tardes.
Estaba mirando cómo reconocer que algo no es un homeomorfismo y he llegado a algunas conclusiones. Un espacio no es homeomorfo a otro si:

-Uno es compacto y el otro no.
-Si elimino un punto en uno y en el otro, uno es conexo y el otro no.
-Un espacio es metrizable y el otro no
- Un espacio es \( T_i \) y el otro \( T_j \) con \( i \neq j \)
- Que no verifique que f es continua, biyectiva y \( f^{-1} \)

¿Qué más formas hay de ver que no son homeomorfismo?

Por otra parte, quería saber cómo identificar cuando es y cuando no es embebimiento. Sé que un embebimiento es una función \( e: X \to Y \) tal que \( e: X\to e(X)  \) es homeomorfismo sobre su imagen, pero no entiendo muy bien la definción.

Por ejemplo en la siguiente función:
\( e: [1,1) \longrightarrow{\mathbb{R}} \)
con \( e(t) = (cos(t), sen(t)) \)

¿Cómo se haría?

Muchísimas gracias con antelación.

09 Abril, 2021, 08:12 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Las condiciones \( T_i \) no son excluyentes, por ejemplo \( T_2\implies T_1 \) pero no al revés. Mira aquí:

https://en.wikipedia.org/wiki/Separation_axiom

Un embebimiento es justo eso: que una función sea homeomorfa a su imagen, considerando la topología de la imagen por aquella inducida del espacio en el que se encuentra.

09 Abril, 2021, 08:20 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Buenas tardes.
Estaba mirando cómo reconocer que algo no es un homeomorfismo y he llegado a algunas conclusiones. Un espacio no es homeomorfo a otro si:

-Uno es compacto y el otro no.

Si. Eso no sólo dice que una aplicación entre esos dos espacios (uno compacto y el otro no) no es un homoemorfismo, sino que NO son homeomorfos es decir, es imposible definir un homeomorfismo entre ellos (aunque fuese con otra aplicación distinta de la dada).

En genera si dos espacios tienen alguna propiedad topológica (que sólo depende de la topología) diferente, no pueden ser homeomorfos.

Citar
-Si elimino un punto en uno y en el otro, uno es conexo y el otro no.

Si eliminas un punto en uno, el que tu quieras, y eliminando cualquier otro  (no el que tu quieras) en el segundo espacio, queda un conexo frente a un no conexo (o viceversa) NO son homeomorfos.

Si eliminas un punto en uno y su imagen por una aplicación en el otro, y queda un conexo frente a un no conexo (o viceversa) esa aplicación no es un homeomorfismo, pero aún así pudiera existir otro homeomorfismo entre ellos.

Citar
-Un espacio es metrizable y el otro no

Si. Lo mismo que con la compacidad.

Citar
- Un espacio es \( T_i \) y el otro \( T_j \) con \( i \neq j \)

Ojo, aquí sería si uno es \( T_i \) y el otro no, entonces no pueden ser homeomorfos.

Citar
- Que no verifique que f es continua, biyectiva y \( f^{-1} \)

Si, obvio. En ese caso \( f \) no cumpliría la definición de homeomorfismo. De nuevo eso no descarta que si pudiera existir otra función entre ellos que si fuese homemorfismo.

Citar
¿Qué más formas hay de ver que no son homeomorfismo?

En general, la idea de comprobar si se respetan propiedades topológicas, que ya has citado en el caso de compacidad, metrizabilidad o axiomas \( T_i \) es buena.

Citar
Por otra parte, quería saber cómo identificar cuando es y cuando no es embebimiento. Sé que un embebimiento es una función \( e: X\to Y \) tal que \( e: X\to e(X)  \) es homeomorfismo sobre su imagen, pero no entiendo muy bien la definción.

La idea es que \( X \) es homeomorfo a un trocito de \( Y \). Esto basta, si uno entiende que es ser homeomorfo (comportarse exactamente igual como espacio topológico). 

Citar
Por ejemplo en la siguiente función:
\( e: [1,1) \longrightarrow{\mathbb{R}} \)
con \( e(t) = (cos(t), sen(t)) \)

¿Cómo se haría?

Tal como la has escrito, difícilmente  :D. Supongo que querías poner:

\( e: [-1,1) \longrightarrow{\mathbb{R}^2} \)

La idea es que estás curvando el segmento \( [-1,1) \) sobre un arco de circunferencia; no lo has "roto" ni "pegado"; topológicamente es "la misma cosa".

Formalmente comprueba:

- Que es inyectiva.
- Siempre es sobreyectiva en la imagen, así que con la inyectividad es biyectiva en la imagen.
- Es continua.
- La inversa es continua.

Saludos.

09 Abril, 2021, 09:02 pm
Respuesta #3

mss

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¡Buenas!

Hay una parte que no entiendo:
Ojo, aquí sería si uno es \( T_i \) y el otro no, entonces no pueden ser homeomorfos.
No entiendo por qué si uno es \( T_2 \) y el otro \( T_1 \), se sigue considerando homeomorfismo. Es cierto que \(  T_2 \Longrightarrow{T_1} \), pero en el caso contrario (\(  T_1 \Longrightarrow{T_2} \)) no es cierto.

Por el resto, muchas gracias :)

En el ejemplo que pregunté, era al cuadrado, es cierto  ;D
Por otra parte en cuanto a embebimientos, supongo entonces que no se verifica que \( f^{-1} \) no es continua en el 0, porque 1/sen(t) daría 1/0. En cuanto a inyectividad y sobreyectividad, ¿cuál sería la forma correcta de demostrarlo? Conozco la definición de ambas, pero no sé formalizarlo.

Muchísimas gracias una vez más  :)

09 Abril, 2021, 09:43 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Ojo, aquí sería si uno es \( T_i \) y el otro no, entonces no pueden ser homeomorfos.
No entiendo por qué si uno es \( T_2 \) y el otro \( T_1 \), se sigue considerando homeomorfismo. Es cierto que \(  T_2 \Longrightarrow{T_1} \), pero en el caso contrario (\(  T_1 \Longrightarrow{T_2} \)) no es cierto.

Es que el matiz que cuando afirmas que un espacio es \( T_1 \) no estás excluyendo la posibilidad de que también sea \( T_2 \). Un ejemplo tonto: es cierto que \( X=\Bbb R \) con la topología usual es \( T_1 \); es cierto que \( Y=\Bbb R \) con la topología usual es \( T_2 \). Y obviamente son homeomorfos... ¡son el mismo espacio!.

Citar
En el ejemplo que pregunté, era al cuadrado, es cierto  ;D
Por otra parte en cuanto a embebimientos, supongo entonces que no se verifica que \( f^{-1} \) no es continua en el 0, porque 1/sen(t) daría 1/0. En cuanto a inyectividad y sobreyectividad, ¿cuál sería la forma correcta de demostrarlo? Conozco la definición de ambas, pero no sé formalizarlo.

Me perdí totalmente aquí. ¿De qué aplicación estás hablando? Si es de:

\( e: [-1,1) \longrightarrow{\mathbb{R}^2},\qquad e(t)=(cos(t),sin(t)) \)

¡Sí es homeomorfismo! y no tiene sentido que digas que \( f^{-1} \) no es continua en el \( 0 \), porque \( f^{-1} \) no está definida en el \( 0 \), sino en un subconjunto de \( \Bbb R^2 \) que es la imagen de la aplicación anterior.

 También me desconcierta que pongas \( 1/sin(x) \). ¿Estarás confundiendo la función inversa con "uno dividido por la función", que no tiene nada qué ver?.

Saludos.

10 Abril, 2021, 04:23 pm
Respuesta #5

mss

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Es que el matiz que cuando afirmas que un espacio es \( T_1 \) no estás excluyendo la posibilidad de que también sea \( T_2 \). Un ejemplo tonto: es cierto que \( X=\Bbb R \) con la topología usual es \( T_1 \); es cierto que \( Y=\Bbb R \) con la topología usual es \( T_2 \). Y obviamente son homeomorfos... ¡son el mismo espacio!.

Entiendo ese ejemplo, pero si por ejemplo tenemos la topología cofinita (que sabemos que es \( T_1 \)) y la topología de Sorgenfrey que es \( T_2 \), y queremos saber si la primera es homeomorfa a la segunda, ¿no sería entonces un argumento válido decir que no son homeomorfas por esa razón?

Por otra parte, creo que he malinterpretado mis apuntes. Estuve mirando cómo demostraba mi profesor que algo era embebimiento, y para ello utilizaba el inverso de la función. Creo que era para demostrar que era biyección, pero como comenté en el mensaje anterior del foro, conozco la definición de biyección, inyección y sobreyección, pero no tengo muy claro cómo demostrarlo.

Muchísimas gracias, siempre me ayuda muchísimo a entenderlo todo. Y siento si mis preguntas son tontas, no llego a entender bien toda la topología :'(

10 Abril, 2021, 05:32 pm
Respuesta #6

geómetracat

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Entiendo ese ejemplo, pero si por ejemplo tenemos la topología cofinita (que sabemos que es \( T_1 \)) y la topología de Sorgenfrey que es \( T_2 \), y queremos saber si la primera es homeomorfa a la segunda, ¿no sería entonces un argumento válido decir que no son homeomorfas por esa razón?
No, no es un argumento válido. El motivo por el que no son homeomorfos no es porque uno sea \[ T_1 \] y el otro \[ T_2 \], sino porque \[ \Bbb R \] con la topología de Sorgenfrey es \[ T_2 \] y con la cofinita no es \[ T_2 \].

Cuando dices que un espacio es \[ T_1 \] no estás excluyendo el caso de que sea \[ T_2,T_3,\dots \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

11 Abril, 2021, 10:51 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Por otra parte, creo que he malinterpretado mis apuntes. Estuve mirando cómo demostraba mi profesor que algo era embebimiento, y para ello utilizaba el inverso de la función. Creo que era para demostrar que era biyección, pero como comenté en el mensaje anterior del foro, conozco la definición de biyección, inyección y sobreyección, pero no tengo muy claro cómo demostrarlo.

Pero primero aclárame que estás entendiendo por el inverso de la función. Estamos hablando en este caso de la función inversa.

Por ejemplo (en los dominios y codiminios adecuados):

- si \( f(x)=x^2 \) entonces \( f^{-1}(x)=\sqrt{x} \) (y NO \( 1/x^2 \))
- si \( f(x)=sin(x) \) entonces \( f^{-1}(x)=arcsin(x) \) (y NO \( 1/sin(x) \))

Hago hincapié en esto porque me sorprendió que aludieses antes a \( 1/sin(x) \). Una vez clarificado este punto, continuamos.

Saludos.

11 Abril, 2021, 12:07 pm
Respuesta #8

mss

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Cuando dices que un espacio es \[ T_1 \] no estás excluyendo el caso de que sea \[ T_2,T_3,\dots \].

Ahh, ya veo eso, ¡gracias!

Por ejemplo (en los dominios y codiminios adecuados):
- si \( f(x)=x^2 \) entonces \( f^{-1}(x)=\sqrt{x} \) (y NO \( 1/x^2 \))
- si \( f(x)=sin(x) \) entonces \( f^{-1}(x)=arcsin(x) \) (y NO \( 1/sin(x) \))

En esos casos que enunció me queda bastante claro, pero no consigo ver cuando hacemos el \( f^{-1}(x) \) de algo más complejo como puede ser un abierto de una topología. Básicamente sería la preimagen de un abierto, y tendríamos que ver dónde quedaría el conjunto abierto en el espacio de partida, pero me resulta complejo visualizarlo. En cuanto a la confusión, fue porque vi en un ejercicio que hacía 1/f(x) y después hacía: f(1/f(x)). Creo que mi profesor lo hizo para demostrar que era una biyección en alguna de las funciones, y de ahí la confusión :(

Muchísimas gracias a ambos  :(

12 Abril, 2021, 11:07 am
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

En esos casos que enunció me queda bastante claro, pero no consigo ver cuando hacemos el \( f^{-1}(x) \) de algo más complejo como puede ser un abierto de una topología. Básicamente sería la preimagen de un abierto, y tendríamos que ver dónde quedaría el conjunto abierto en el espacio de partida, pero me resulta complejo visualizarlo. En cuanto a la confusión, fue porque vi en un ejercicio que hacía 1/f(x) y después hacía: f(1/f(x)). Creo que mi profesor lo hizo para demostrar que era una biyección en alguna de las funciones, y de ahí la confusión :(

Es cierto que dependiendo del caso formaliza al 100% que las inversas son continuas puede dar la lata; generalmente depende de que resultados previos puedas usar. Hacerlo sin más que la definición de continuidad y la definición de la topología, no suele ser lo más recomedable. Pero eso es una situación típica. Por ejemplo demostrar que la función \( f(x)=sin(e^x)+x^2*ln(x^2+5) \) es continua por la definición de \( \epsilon-\delta \) (o la definición topológica) sería un infierno. Se usan resultados auxiliares (que sabemos que las funciones elementales son continuas; que la suma, producto, composición de funciones continuas es continua). Eso aligera el trabajo.

Hay resultados que ayudan a ver que algunas aplicaciones tienen inversa continua; algunos incluso relacionados con cálculo diferencial (es decir, van más allá de lo topológico) como los Teoremas de la función inversa e implícita.

Si vamos al ejemplo concreto de antes:

\( e: [-1,1) \longrightarrow{\mathbb{R}^2},\qquad e(t)=(cos(t),sin(t)) \)

1) Es continua porque cada componente \( sin(t),cos(t) \) son funciones continuas.
2) Es inyectiva porque en el intervalo \( [-1,1) \) la función \( sin(t) \) es inyectiva.
3) Comprueba que la inversa es:

\( e^{-1}:e([-1,1))\to [-1,1),\qquad e^{-1}(x,y)=arcsin(y) \)

Entonces:

- la función \( g:\Bbb R\times (-\pi/2,\pi/2) \), \( g(x,y)=arcsin(y) \) es continua porque es composición de la función continua \( arcsin \) con la función proyección \( (x,y)\to y \) y ambas son continuas.

- la función \( e^{-1} \) es la restricción de \( g \) al conjunto \( e([-1,1)) \) y por tanto es continua por ser restricción de una continua.

Saludos.