Autor Tema: Potencial en el vertice de un cono cargado

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09 Abril, 2021, 01:12 am
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Jehan

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Hola buenas! Me han enviado un ejercicio de libro resuelto pero la verdad tengo cero conocimientos en este tema y por lo que he visto el resultado del procedimiento que recibí no es el mismo al que muestra el libro, necesito ayuda para aclarar si está todo bien resuelto y en realidad yo me estoy pasando por alto algo en el resultado final o si en realidad este procedimiento está equivocado, gracias por la ayuda de antemano! Un saludo a todos.
(Adjunto imagen del ejercicio y solución del libro abajo)



Ahora el procedimiento:
-Formula del potencial creado de una carga en el punto P
\( dV=k\dfrac{dq}{l}=k\dfrac{\sigma dS}{l} \)

-Integrando la expresión extendida para obtener el potencial V en el punto P:
\( V=\displaystyle \int_SdV=\int_Sk\dfrac{dq}{l}=k\int_S \dfrac{\sigma dS}{l}=k\sigma \int_S \dfrac{dS}{l} \)



l= distancia en el punto

-Luego aplico la parametrización de la superficie cónica:
* Empiezo tomando una de las generatrices de la superficie cónica en el plano x=0. Si R es el radio del cono y H es su altura, la ecuación de esta generatriz vendrá dada por \( z' = \dfrac{H}{R}y' \)  siendo su vector director \( \vec v_d=(0, R, H) \)

Por lo tanto:
\( x' = 0 \)
\( y' = Rt \)
\( z' = Ht \)

*Rotando la generatriz y convirtiendola:
\( (x, y, z) = (y_ccos\theta, y_csen\theta, z_c) \)

\( (x, y, z) = (Rtcos\theta, Rtsen\theta, Ht) \)

La ecuación parametrizada de esta superficie cónica será, pues:
\( \sigma (x,y,z)=(Rtcos\theta, Rtsen\theta, Ht)=\sigma(t, \theta) \)

- Vector tangente a la superficie cónica en la dirección del parámetro t:
\( \dfrac{\partial \sigma}{\partial t}=(Rcos\theta, Rsen\theta, H) \)

- vector tangente a la superficie cónica en la dirección del parámetro \( \theta \):
\( \dfrac{\partial \sigma}{\partial \theta}=(-Rtsen\theta, Rtcos \theta, 0) \)

- vector \( \vec n= \) perpendicular a la superficie cónica:
\( \begin{pmatrix}
\vec i &\vec j &\vec k\\
Rcos\theta &Rsen\theta &H\\
-Rtsen\theta &Rtcos\theta &0\\
\end{pmatrix} \)
Y efectuando este producto vectorial:
\( \vec n= (-RHtcos\theta, -RHtsen\theta, R^2t) \)

El vector dS  será, entonces
\( \vec{dS}=\vec n\,dt\,d\theta=(-RHtcos\theta, -RHtsen\theta, R^2t)dt\,d\theta \)

Y su modulo:
\( dS=\sqrt{R^2H^2t^2+R^4t^2}\,dt\,d\theta=Rt\sqrt{H^2+R^2}dt\,d\theta=RLtdt\,d\theta \)

-Ahora realizando la siguiente integración:
\( \displaystyle{V=\int_SdV=k\int_S\dfrac{dq}{l}=k\sigma\int_S\dfrac{dS}{l}} \)

El vector de posición del punto A correspondiente a dq es \( \vec{OA}= (Rtcos\theta, Rtsen\theta, Ht) \)

Por lo tanto l= \( l=\sqrt{R^2t^2cos^2\theta+R^2t^2sen^2\theta+H^2t^2}=t\sqrt{R^2+H^2}=Lt \)

-límites de integración para\( \theta \) desde 0 a \( 2\pi \)
para t: desde \( t=0 \,\,(l=0) \) hasta \( t=1\,\,\,(l=L) \)

-La integral a realizar queda, entonces, definitivamente así:
\( V=\displaystyle {k\sigma \int_S\dfrac{dS}{l}=k\sigma \int_S\dfrac{RLt}{Lt}dt\,d\theta}=k\sigma \int_S Rdt\,d\theta \)
\( \displaystyle{V=k\sigma \int_S Rdt\,d\theta=k\sigma R\int_0^1dt\,\int_0^{2\pi} d\theta=2\pi k\sigma R=2\pi k\dfrac{Q}{\pi RL}R=\dfrac{Q}{2\pi\epsilon_0 L}}
 \)

De nuevo gracias por tomarse la molestia de ayudarme!











09 Abril, 2021, 06:30 am
Respuesta #1

Abdulai

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Tu resultado es el mismo que el del libro, pues \( k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \)

 ??? La ayuda mas que ayuda es el procedimiento.

09 Abril, 2021, 05:19 pm
Respuesta #2

Jehan

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Gracias por aclarar, pues, como dije arriba no tengo ni idea del tema, simplemente me lo mandaron y quería confirmar, es un favor que estoy haciendo, gracias de nuevo.

11 Abril, 2021, 03:07 pm
Respuesta #3

JCB

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Hola a tod@s.

El área lateral de un tronco de cono diferencial, con un radio de la base inferior \( x+dx \), un radio de la base superior \( x \), y una generatriz \( dl \), es

\( dS=\pi(x+x+dx)dl=2\pi xdl+\cancelto{0}{\pi dxdl}=2\pi xdl \).

Llamo \( l \) a la distancia (medida sobre la generatriz) entre el vértice del cono y el tronco de cono diferencial. Si \( R \) es el radio de la base del cono, y \( L \) su generatriz, la relación entre \( x \) y \( l \), es \( \dfrac{x}{l}=\dfrac{R}{L} \), \( x=\dfrac{Rl}{L} \). Substituyendo en la expresión de \( dS \),

\( dS=2\pi\dfrac{Rl}{L}dl \).

Por otra parte \( \sigma=\dfrac{Q}{S}=\dfrac{Q}{\pi RL} \).

La carga contenida en esta área lateral del tronco de cono es \( dq=\sigma dS=\dfrac{Q}{\pi RL}2\pi\dfrac{Rl}{L}dl=\dfrac{2Qldl}{L^2} \).

\( V=k\displaystyle\int_{0}^{L}\dfrac{dq}{l}=k\displaystyle\int_{0}^{L}\dfrac{2Qldl}{L^2l}=\dfrac{2kQ}{L} \).

Saludos cordiales,
JCB.

11 Abril, 2021, 08:30 pm
Respuesta #4

Jehan

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Hola a tod@s.

El área lateral de un tronco de cono diferencial, con un radio de la base inferior \( x+dx \), un radio de la base superior \( x \), y una generatriz \( dl \), es

\( dS=\pi(x+x+dx)dl=2\pi xdl+\cancelto{0}{\pi dxdl}=2\pi xdl \).

Llamo \( l \) a la distancia (medida sobre la generatriz) entre el vértice del cono y el tronco de cono diferencial. Si \( R \) es el radio de la base del cono, y \( L \) su generatriz, la relación entre \( x \) y \( l \), es \( \dfrac{x}{l}=\dfrac{R}{L} \), \( x=\dfrac{Rl}{L} \). Substituyendo en la expresión de \( dS \),

\( dS=2\pi\dfrac{Rl}{L}dl \).

Por otra parte \( \sigma=\dfrac{Q}{S}=\dfrac{Q}{\pi RL} \).

La carga contenida en esta área lateral del tronco de cono es \( dq=\sigma dS=\dfrac{Q}{\pi RL}2\pi\dfrac{Rl}{L}dl=\dfrac{2Qldl}{L^2} \).

\( V=k\displaystyle\int_{0}^{L}\dfrac{dq}{l}=k\displaystyle\int_{0}^{L}\dfrac{2Qldl}{L^2l}=\dfrac{2kQ}{L} \).

Saludos cordiales,
JCB.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Muchas gracias!!!!

11 Abril, 2021, 11:10 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

El área lateral de un tronco de cono diferencial, con un radio de la base inferior \( x+dx \), un radio de la base superior \( x \), y una generatriz \( dl \), es

\( dS=\pi(x+x+dx)dl=2\pi xdl+\cancelto{0}{\pi dxdl}=2\pi xdl \).

¿De dónde sale eso?.

Saludos.

11 Abril, 2021, 11:48 pm
Respuesta #6

robinlambada

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Hola

El área lateral de un tronco de cono diferencial, con un radio de la base inferior \( x+dx \), un radio de la base superior \( x \), y una generatriz \( dl \), es

\( dS=\pi(x+x+dx)dl=2\pi xdl+\cancelto{0}{\pi dxdl}=2\pi xdl \).

¿De dónde sale eso?.

Saludos.

Bastante extraño, la verdad.

Creo que a utilizado la formula de cilindro de altura \( dl \) y como radio de la base del cilindro la media entre el radio máximo y el radio mínimo.

\( dS=2\pi\displaystyle\frac{x+(x+dx)}{2}dl \)

O quizás utilizando el área diferencial de una superficie de revolución respecto al eje "y" , tomando la media de los 2 radios
En ambos casos se llega al mismo resultado.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

11 Abril, 2021, 11:57 pm
Respuesta #7

JCB

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Hola a tod@s.

Espero no haberme equivocado, pero simplemente he aplicado la fórmula del área lateral de un tronco de cono. Para un tronco de cono con radio de la base inferior \( r \), un radio de la base superior \( r' \), y una longitud de la generatriz \( g \),

\( S_L=\pi(r+r’)g \).

Con una denominación diferente, la adapté al área lateral del tronco de cono diferencial al que recurrí, para encontrar una solución menos alambicada.

Saludos cordiales,
JCB.

12 Abril, 2021, 12:29 am
Respuesta #8

robinlambada

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Hola a tod@s.

Espero no haberme equivocado, pero simplemente he aplicado la fórmula del área lateral de un tronco de cono. Para un tronco de cono con radio de la base inferior \( r \), un radio de la base superior \( r' \), y una longitud de la generatriz \( g \),

\( S_L=\pi(r+r’)g \).

Con una denominación diferente, la adapté al área lateral del tronco de cono diferencial al que recurrí, para encontrar una solución menos alambicada.

Saludos cordiales,
JCB.
No, no te has equivocado, es totalmente correcto.

Saludos
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12 Abril, 2021, 09:26 am
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Espero no haberme equivocado, pero simplemente he aplicado la fórmula del área lateral de un tronco de cono. Para un tronco de cono con radio de la base inferior \( r \), un radio de la base superior \( r' \), y una longitud de la generatriz \( g \),

\( S_L=\pi(r+r’)g \).

Con una denominación diferente, la adapté al área lateral del tronco de cono diferencial al que recurrí, para encontrar una solución menos alambicada.

Ya veo. Es que lo que para ti es una solución alambicada, para mi es una solución rigurosa. Sé que en física se hacen esos cálculos con diferenciales un tanto alegres. Para mi no son del todo correctos, en cuanto que uno podría "colar" errores con la misma "alegría" que cuela aciertos. Pero no quiero abrir ese melón ahora...

Saludos.