Hola estimados foristas, acá con un problema que no resuelvo completamente, esperando sus luces y comentarios. Lo enuncio :
Se tiene una muestra aleatoria de tamaño n de una variable aleatoria normal X con media \( \mu \) y variancia \( \sigma^2 \), determinar \( E(S^2), \ E(S) \), que son la varianza muestral y la desviación stándar muestral.
SOLUCIÓN
Por definición \( S^2=(\displaystyle\frac{1}{n-1})\displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i-\bar{X})^2}=(\displaystyle\frac{1}{n-1})(\displaystyle\sum_{i=1}^n{X_i^2}-n\bar{X}^2)=(\displaystyle\frac{n}{n-1})(\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{X_i^2}}{n})-\displaystyle\frac{n}{n-1}\bar{X}^2=(\displaystyle\frac{n}{n-1})M_2-(\displaystyle\frac{n}{n-1})M_1^2 \) donde \( M_2, M_1 \) son los momentos muestrales de orden 2 y respectivamente.
\( E(S^2)=(\displaystyle\frac{n}{n-1})E(M_2)-(\displaystyle\frac{n}{n-1})E(M_1^2) \) Ec. 1
En este punto se usa un teorema ya demostrado y usado en problemas anteriores :
\( E(M_k)=m_k \)
\( Variancia \ \ (M_k)=(\displaystyle\frac{1}{n}) \ (m_{2k}-m_k^2) \) donde \( m_k \) es el momento k-ésimo de la variable aleatoria X
Usando el teorema se tiene :
\( E(M_2)=m_2=E(X^2) \) pero \( \sigma^2=E(X^2)-\mu^2 \) esto implica \( E(M_2)=\sigma^2+\mu^2 \) R1
Usando la segunda parte del teorema se tiene :
\( variancia \ \ (M_1)=(\displaystyle\frac{1}{n})(m_2-m_1^2)=(\displaystyle\frac{1}{n})(E(X^2)-\mu^2)=\displaystyle\frac{\sigma^2}{n} \)
Esto se puede poner \( \displaystyle\frac{\sigma^2}{n}=E(M_1^2)-E(M_1)^2\Rightarrow{E(M_1^2)=\displaystyle\frac{\sigma^2}{n}+\mu^2} \) R2
Sustituyendo los resultados R1 y R2 en la EC1 se llega : \( E(S^2)=(\displaystyle\frac{n}{n-1})((\sigma^2+\mu^2)-(\displaystyle\frac{\sigma^2}{n}+\mu^2))=\sigma^2 \)
La respuesta para esta parte es correcta, para la segunda parte realmente me hice un ocho y me dijeron que había una sugerencia en el enunciado (no me la habían proporcionado inicialmente) y es : \( \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i-\bar{X})^2}}{\sigma^2} \) es una variable aleatoria \( \chi^2 \) con d=n-1 grados de libertad, recién con esta información (entiendo es un teorema para una muestra de una variable aleatoria normal) he intentando una respuesta pero que no coincide, ahí va :
Si, \( Z=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i-\bar{X})^2}}{\sigma^2}\Rightarrow{Z=(\displaystyle\frac{n-1}{\sigma^2})S^2}\Rightarrow{S=(\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt[ ]{n-1}})\ Z^{1/2}} \)
Por definición \( E(S)=\displaystyle\lim_{M \to{}\infty}{\displaystyle\int_{0}^{M}(\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt[ ]{n-1}})Z^{1/2} \ f_Z(Z) \ dZ} \) donde \( f_Z(Z) \) es la fundión de densidad de probabilidad de Z la cual se conoce por ser \( \chi^2 \) con d=n-1 grados de libertad, aparece la función \( \Gamma \) sustituyendo se tiene :
\( E(S)=(\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt[ ]{n-1}}) \ \displaystyle\lim_{M \to{}\infty}{\displaystyle\int_{0}^{M}Z^{1/2} \ (\displaystyle\frac{Z^{(d/2)-1}}{2^{d/2} \ \Gamma(d/2)}) \ e^{-Z/2} \ dZ}=(\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt[ ]{n-1}}) \ (\displaystyle\frac{2^{(d+1)/2}}{2^{d/2}}) \ (\displaystyle\frac{\Gamma((d+1)/2)}{\Gamma(d/2)})\displaystyle\lim_{M \to{}\infty}{\displaystyle\int_{0}^{M}\displaystyle\frac{Z^{(d+1)/2-1}}{2^{(d+1)/2} \ \Gamma((d+1)/2)} \ e^{-Z/2} \ dZ} \)
El integrando es la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria \( \chi^2 \) con \( d+1=(n-1)+1=n \) grados de libertad, en consecuencia el integral vale 1, luego se tiene que :
\( E(S)=(\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt[ ]{n-1}}) \ (\displaystyle\frac{2^{(d+1)/2}}{2^{d/2}}) \ (\displaystyle\frac{\Gamma((d+1)/2)}{\Gamma(d/2)})=(\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt[ ]{n-1}}) \ (\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2} \ \Gamma(n/2)}{\Gamma((n-1)/2)}) \)
Este resultado no me coincide, esperando sus comentarios. Gracias de antemano.
Saludos
