Hola, estimados foristas, acá con un problema al que no llego a la respuesta, esperando sus comentarios y sugerencias, lo enuncio :
Se calculan dos números a \( \displaystyle\frac{1}{10} \) más cercano. Calcular la probabilidad exacta y aproximada de que el error de redondeo de la suma no sea mayor que
0.03, suponiendo que el error de redondeo para cada uno es uniforme en
(-0.05,0.05)SOLUCION
El redondeo a la primera cifra decimal de dos números calculados es un suceso aleatorio al igual que el error de redondeo, denominando
x,y a los redondeos del primer y segundo número respectivamente, son variables aleatorias conjuntas, cuya densidad de probabilidad se puede calcular con los datos (uniforme) que se tiene \( f_x(x)=\displaystyle\frac{1}{0.05-(-0.05)}=10, \ f_y(y)=10 \), en consecuencia
x e
y son variables aleatorias uniformes con idéntica distribución de probabilidad e independientes. En consecuencia la función de densidad de probabilidad conjunta es :
\( f_{x,y}(x,y)=f_x(x)f_y(y)=10(10)=100, \ \ x \in{(-0.05, 0.05)\wedge y\in{(-0.05,0.05)}} \)
El error de redondeo de la suma de los dos números es
x+y y se pide la \( p=prob (x+y\leq{0.03}) \) esto por definición será :
\( p=\displaystyle\int_{Q}^{}\displaystyle\int_{}^{}f_{x,y}(x,y) \ dx \ dy \) donde Q es la región
achurada del plano XY, donde se cumple \( x+y\leq{0.03} \) , muestro la región en un esquema :
Considerando la intersección de la recta roja con la recta y=0.05, se tiene que
x=-0.02 ahora si poniendo los límites de integración :
\( p=\displaystyle\int_{-0.05}^{-0.02}\displaystyle\int_{-0.05}^{0.05}100 \ dy \ dx+\displaystyle\int_{-0.02}^{0.05}\displaystyle\int_{-0.05}^{0.03-x}100 \ dy \ dx=0.755 \)
Este problema se refiere a la aproximación normal del redondeo, entonces denominando \( w=x+y \) se tiene, considerando N=2 (número de variables) y k=1, número de cifras significativas decimales y que la media de las variables es \( \mu=0 \) y la varianza \( \sigma^2=\displaystyle\frac{10^{-2k}}{12} \) por ser uniformes, por fórmula :
\( F_w(t)=N_z(\displaystyle\frac{t}{10^{-k}\sqrt[ ]{N}/\sqrt[ ]{12}})=N_z(\displaystyle\frac{0.03}{0.1\sqrt[ ]{2}/\sqrt[ ]{12}})=N_z(0.7348)=0.7688 \)
El resultado exacto sale completamente incorrecto
0.51 la segunda respuesta no la dan.
Esperando sus comentarios de repente alguna otra interpretación. Gracias de antemano
Saludos
Nota : Si pudieran disminuir el tamaño del esquema lo agradecería
