[argentinator]

Según la definición de más arriba \( N(A,\epsilon)\approx{C\epsilon^{-D}} \) significa que:
\( \displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{\log(N(A,\epsilon))}{\log(C\epsilon^{-D})}}=1 \)
Esto claramente equivale a escribir
\( \displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{\log(N(A,\epsilon))}{log(C)+D \log(\epsilon^{-1)}}=1 \)
También se puede escribir esto ''al revés'', tomando recíprocos:
\( \displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{log(C)+D \log(\epsilon^{-1)}}{\log(N(A,\epsilon))}=1 \)
Distribuimos respecto el cociente:
\( \displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}\Bigg({\displaystyle\frac{log(C)}{\log(N(A,\epsilon))}+D \frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(N(A,\epsilon))}\Bigg)=1 \)

Ahora bien, \( \log(N(A,\epsilon) \) es una función no creciente respecto de \( \epsilon \), debido a que cuanto más pequeño es el radio \( \epsilon \) de las bolas, más grande es el número de bolas necesarias para cubrir el conjunto A (analizarlo con calma).

Por lo tanto \( \log(N(A,\epsilon) \) tiende, o bien a un número finito que acota a la función para todo \( \epsilon \), o bien tiende a \( +\infty \).
En el primer caso, la cantidad \( \displaystyle\frac{log(C)}{\log(N(A,\epsilon))} \) tiende a un número finito porque C es contante, y en el segundo caso tiende a 0.
En cualquiera de los dos casos el límite es finito, y por lo tanto es válido separar ese término, escribiendo límites separadamente, así:

\( \displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{log(C)}{\log(N(A,\epsilon))}+D \displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}\frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(N(A,\epsilon))}=1 \).

De aquí sí que puede despejarse D. No sé si da lo que se supone que tiene que dar, pero bueno...

Sigo un poco más.

Paso el término izquierdo a la derecha de la igualdad y reacomodo:

\( D \displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}\frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(N(A,\epsilon))}=1-\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{log(C)}{\log(N(A,\epsilon))}=\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{\log(N(A,\epsilon))-\log(C)}{\log(N(A,\epsilon))} \)


Asumamos por el momento que D > 0.

Observemos que el lado derecho es el mismo término que habíamos probado que tenía límite finito.
Esto quiere decir que el lado izquierdo también es finito, y en particular el límite de \(  \displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}\frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(N(A,\epsilon))} \) existe y debe ser finito.
Recordemos esta conclusión.

Ahora podemos multiplicar y dividir por \( {\log(\epsilon^{-1})} \), y nos quedaría:
\( D \displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}\frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(N(A,\epsilon))}=\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(\epsilon^{-1})}\displaystyle\frac{\log(N(A,\epsilon))-\log(C)}{\log(N(A,\epsilon))}=\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{\log(N(A,\epsilon))-\log(C)}{\log(\epsilon^{-1})}\cdot\displaystyle\frac{{\log(\epsilon^{-1})}}{\log(N(A,\epsilon))} \)

Como el factor de más a la derecha tiene límite finito, podemos separar los límites del producto, escribiendo:
\( D \displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}\frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(N(A,\epsilon))}=\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{\log(N(A,\epsilon))-\log(C)}{\log(\epsilon^{-1})}\cdot\displaystyle\lim_{\epsilon\to0}\displaystyle\frac{{\log(\epsilon^{-1})}}{\log(N(A,\epsilon))} \)

Si el susodicho límite del factor de más a la derecha fuera no nulo, podríamos simplificar, y obtendríamos la igualdad buscada.
¿Será cierto que es distinto de 0?

¿Y si no, qué pasa?

A lo mejor en algún paso cometí el mismo error que me paso criticando... ojo

[argentinator]

Observemos que

\( \displaystyle\lim_{\epsilon\to0}\displaystyle\frac{\log(C)}{\log(\epsilon^{-1})}=0 \).

De modo que

\( \displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{\log(N(A,\epsilon))-\log(C)}{\log(\epsilon^{-1})}\cdot\displaystyle\frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(N(A,\epsilon))}=\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{\log(N(A,\epsilon))}{\log(\epsilon^{-1})}\cdot\displaystyle\frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(N(A,\epsilon))}=1 \).

Esto implica que
\( D\displaystyle\lim_{\epsilon\to0}\displaystyle\frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(N(A,\epsilon))}=1 \).

Como asumimos que D > 0, esto solo puede ocurrir si
\( \displaystyle\lim_{\epsilon\to0}\displaystyle\frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(N(A,\epsilon))} \)
es una cantidad finita y positiva,  que era la duda que nos quedaba pendiente.

Restaría analizar la posibilidad de que D = 0.

[enloalto]

Bacan tu desarrollo, a ver veamos si D es 0.entonces en la expresion
\( \displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\left\{{\displaystyle\frac{ln(N(A,\epsilon))}{ln(C\epsilon^{-D})}}\right\}}=1 \)

tenemos

\( \displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\left\{{\displaystyle\frac{ln(N(A,\epsilon))}{ln(C)}}\right\}}=1 \), luego

\( \displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{ln(N(A,\epsilon))}}=ln(C) \), luego
\( ln\left\{{\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{N(A,\epsilon)}}}\right\}=ln(C) \)
\( \displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{N(A,\epsilon)}}=C \)
Como \( C \) es una constante positiva y \( N(A,\epsilon) \) es el menor numero de bolas de radio \( \epsilon \), entonces \( N(A,\epsilon) \) es decreciente y conforme \( \epsilon \) sea mas pequeño, \( N(A,\epsilon) \) tiende a \( +\infty \), luego \( C=+\infty \), lo cual no puede pasar puesto que por deifinicion C es una constante positiva. Por tanto \( D\neq{0} \).
Intuitivamente, pienso que si un objeto tiene dimension 0, este debe constar de un solo punto, quiere decir que esa definicion de dimension vale para objetos de dimensiones mayores a 0, y en el caso de ser un solo punto, define su dimension 0, estoy bien???, a ver si todos me ayudan a ver eso, muchas graciasaaaaa

[argentinator]

No entiendo por qué \( N(A,\epsilon) \) tiene que tender a \( \infty \).

Partiendo de la definición, y usando que D = 0, se obtiene, como bien dijiste:

\( \displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{N(A,\epsilon)}}=C \)

Sabemos que  \( N(A,\epsilon) \) es no creciente, lo cual significa que, a medida que \( \epsilon \) decrece hacia 0, la cantidad \( N(A,\epsilon) \) va creciendo, pero no necesariamente lo hace hacia \( \infty \).

Yo creo que podemos aceptar que la fórmula del límite sigue siendo válida con D = 0.

Lo que significa ese último límite, es que el número \( N(A,\epsilon) \) de bolas de radio \( \epsilon \) que cubre al conjunto, comienza a estabilizarse, para cierta constante C.
Como \( N(A,\epsilon) \) es una función de \( \epsilon \) que toma sólo valores enteros, el límite C debe ser un número entero.

Por definición de límite, existiría un valor \( \epsilon_0 \) tal que si \( \epsilon<\epsilon_0 \) entonces \( |{N(A,\epsilon)-C}|<0.5 \).
Pero como \( N(A,\epsilon) \) va tomando valores enteros, esto querrá decir que para \( \epsilon<\epsilon_0 \) el número \( N(A,\epsilon) \) es igual a C.
O sea, se vuelve constante a partir de cierto \( \epsilon \) bastante pequeño.

Creo que, analizando las cosas con detalle, se debería poder probar que el conjunto A tiene, a fin de cuentas, un número finito de puntos, y que la cantidad de puntos es C. Habría que ver cómo armar una sucesión de cubrimientos adecuados, con radio tendiendo a 0.