Por las dudas que veo que tienes, mi consejo es que te estudies bien o repases la teoría que te hayan dado. No te puedo explicar todo aquí porque sería demasiado largo, pero voy a intentar responder tus dudas.
En la notación que usas, \( \phi \) es la matriz de datos, donde tienes en cada fila todos los regresores correspondientes a una observación. Por ejemplo, en el primer problema,
\( \phi = \begin{pmatrix}{1}&{1}\\{1}&{2} \\ {1}&{3} \\ {1} & {4} \\ {1}&{5} \end{pmatrix} \).
La primera columna es todo unos porque corresponde al término independiente, la segunda columna es el valor del regresor \( x \).
En el segundo problema, tendrías,
\( \phi = \begin{pmatrix}{0.5}&{0.5^3}\\{1.0}&{1.0^3} \\ {1.5}&{1.5^3} \\ {2.0} & {2.0^3} \end{pmatrix} \).
La matriz \( W \) en tu caso es una matriz diagonal cuyo valor en todas las entradas de la diagonal es \( \frac{1}{\sigma(y)^2} \). Si hubiera heterocedasticidad (es decir, la varianza de \( y \) fuera diferente en cada observación) entonces irían los inversos de las varianzas de cada observación. Si hay homocedasticidad (las varianzas son iguales) entonces puedes omitir esta matriz porque se acaba cancelando en las fórmulas finales. En el caso heterocedástico, cuando se usa esta matriz se habla normalmente de "mínimos cuadrados ponderados". También hay casos en que puedes tener una matriz \( W \) que no sea diagonal. Esto se da en situaciones donde hay correlaciones entre los residuos del modelo, y entonces se habla de "mínimos cuadrados generalizados". Puedes ignorar todo esto si quieres, lo pongo solo por si te aparecen por ahí los nombres que sepas que tiene que ver con la forma de la matriz \( W \).
Por último, \( Y \) es el vector columna con los valores de \( Y \) en cada observación. Por ejemplo, en el primer problema:
\( Y = \begin{pmatrix}2.8\\{3.6}\\ {4.8}\\{6.6} \\ {8.9}\end{pmatrix} \)
Si entiendes esto bien ya puedes hacer los problemas. Si te miras la teoría, verás (te justificarán) que los estimadores de los coeficientes de regresión por mínimos cuadrados vienen dados por
\( \hat{\beta} = (\phi^tW\phi)^{-1}(\phi^tWY) \)
donde \( \hat{\beta} \) representa el vector columna con los coeficientes de regresión estimados por mínimos cuadrados. Por ejemplo, en el primer ejercicio,
\( \hat{\beta} = \begin{pmatrix}{a_0}\\{a_1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{0.78}\\{1.52}\end{pmatrix} \).
La otra cosa que necesitas saber es que la matriz de varianzas-covarianzas de los estimadores de los coeficientes de regresión (\( a_0 \) y \( a_1 \) en tu problema) viene dada por \( (\phi^tW\phi)^{-1} \). Por tanto, a la pregunta de "¿cómo se calcula \( \Delta a_0, \Delta a_1 \)?" (aquí el \( \Delta a_0 \) hace referencia a la desviación típica de \( a_0 \)) la respuesta es: "tomas los valores de la diagonal de la matriz \( (\phi^tW\phi)^{-1} \) y sacas su raíz cuadrada".
Finalmente, sobre los valores de las tablas, si te fijas es lo que necesitas para calcular las matrices \( \phi^tW\phi \) y \( \phi^tWY \) en cada caso. Son distintas en los dos problemas porque los regresores son distintos. En el primero tienes \( 1,x \) y en el segundo \( x,x^3 \).
Espero que esto te sirva para aclararte un poco, pero piensa que no es un sustituto de leer (¡y entender!) la teoría.
