[Soofiaa]

Argumente sobre la validez de las afirmaciones:

\( (i) \) Toda reunión numerable de conjuntos finitos disjuntos es numerable.

\( (ii) \) Si un monoide con \( 2n \) elementos tiene al menos \( n \) elementos invertibles entonces es un grupo.

\( (iii) \) Si \( H,K \) son subgrupos conmutativos de un grupo \( G \) que verifican \( H \cap{K}=\left\{{1_{g}}\right\} \) y \( H K = G \), entonces \( G \) es conmutativo.


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Hola, como argumentarían para cada una? gracias de antemano 

[Luis Fuentes]

Hola

Argumente sobre la validez de las afirmaciones:

\( (i) \) Toda reunión numerable de conjuntos finitos disjuntos es numerable.

Si tienes una familia numerable de conjuntos numerables \( \{A_i\}_{i\in \Bbb N} \) para cada uno de ellos tienes una biyección:

\( f_i:\Bbb N\to A_i \)

Por tanto puedes definir la biyección:

\( F:\Bbb N\times \Bbb N\to \bigsqcup A_i,\quad F(n,m)=F_m(n) \)

\( (ii) \) Si un monoide con \( 2n \) elementos tiene al menos \( n \) elementos invertibles entonces es un grupo.

Analiza que ocurre con \( \Bbb Z_4 \) con la operación producto.

\( (iii) \) Si \( H,K \) son subgrupos conmutativos de un grupo \( G \) que verifican \( H \cap{K}=\left\{{1_{g}}\right\} \) y \( H K = G \), entonces \( G \) es conmutativo.

Estudia el grupo diédrico de orden \( 6 \).

Saludos.

[Soofiaa]

Hola

Argumente sobre la validez de las afirmaciones:

\( (i) \) Toda reunión numerable de conjuntos finitos disjuntos es numerable.

Si tienes una familia numerable de conjuntos numerables \( \{A_i\}_{i\in \Bbb N} \) para cada uno de ellos tienes una biyección:

\( f_i:\Bbb N\to A_i \)

Por tanto puedes definir la biyección:

\( F:\Bbb N\times \Bbb N\to \bigsqcup A_i,\quad F(n,m)=F_m(n) \)

\( (ii) \) Si un monoide con \( 2n \) elementos tiene al menos \( n \) elementos invertibles entonces es un grupo.

Analiza que ocurre con \( \Bbb Z_4 \) con la operación producto.

\( (iii) \) Si \( H,K \) son subgrupos conmutativos de un grupo \( G \) que verifican \( H \cap{K}=\left\{{1_{g}}\right\} \) y \( H K = G \), entonces \( G \) es conmutativo.

Estudia el grupo diédrico de orden \( 6 \).

Saludos.

Estimado, me podría orientar un poco más? no logro entender esto 

[Luis Fuentes]

Hola

Estimado, me podría orientar un poco más? no logro entender esto 

Detalla exactamente qué cosa no entiendes.

Saludos.

[Soofiaa]

Hola

Estimado, me podría orientar un poco más? no logro entender esto 

Detalla exactamente qué cosa no entiendes.

Saludos.

En la \( 2) \) al definir \( Z_{4}={0,1,2,3} \) con operación producto, noto que no cumple las propiedades para ser un grupo, ya que el elemento simétrico \( x^{-1} \) del producto no aplica al 0. ¿Esto es correcto?

En la \( 3) \) escapa de mis conocimientos entender qué hacer con el grupo diédrico que me mencionó.

Un saludo cordial y disculpe las molestias

[Luis Fuentes]

Hola

En la \( 2) \) al definir \( Z_{4}={0,1,2,3} \) con operación producto, noto que no cumple las propiedades para ser un grupo, ya que el elemento simétrico \( x^{-1} \) del producto no aplica al 0. ¿Esto es correcto?

Claro. Es un monoide con \( 2n=4 \) elementos; \( n=2 \) de ellos inversibles, \( 1 \) (ya que \( 1\cdot 1=1 \)) y \( 3 \) (ya que \( 3\cdot 3=1 \) mod \( 4 \)). Pero los otros dos no son inversibles; por tanto no es un grupo.

Es decir la afirmación (ii) es falsa.

En la \( 3) \) escapa de mis conocimientos entender qué hacer con el grupo diédrico que me mencionó.

Pues el gupo diédrico de orden 6, o si prefieres el grupo de permutaciones \( S_3 \) de tres elementos cumple lo siguiente:

- Toma el subgrupo de orden \( 2 \), \( H=<(12)> \) (generado por la trasposición \( (12) \)).
- Toma el subgrupo de orden \( 3 \), \( K=<(123)> \) (generado por el ciclo \( (12) \)).
- Es inmediato que \( S_3=HK \) y que \( H\cap K=id. \)

Pero el grupo de permutaciones \( S_3 \) NO es conmutativo.

Por tanto la afirmación (iii) es falsa.

Saludos.