\[ B=\lbrace x\in\mathbb{R} \ | \ x^{2}-21x+110\leq 100 \rbrace \]
Supongo que has querido decir \( B=\lbrace x\in\mathbb{R} \ | \ x^{2}-21x+110\leq 0 \rbrace \), en cuyo caso
\( x^{2}-21x+110=(x-10)(x-11)\le 0\Leftrightarrow{x\in [10,11]} \), es decir \( B=[10,11] \).
\[ A=\lbrace x\in\mathbb{R} \ | \ x^{2}-a\leq 100\rbrace ; A\neq \emptyset \]
Tenemos
\( \ x^{2}-a\leq 100\Leftrightarrow{x^2\le 100+a}\underbrace{\Leftrightarrow}_{\text{si }a\ge -100}{\left |{x}\right |\le \sqrt{100+a}}\Leftrightarrow{x\in [-\sqrt{100+a},\sqrt{100+a}]} \).
Para que \( A\ne \emptyset \) se ha de verificar \( a\ge -100 \) y en tal caso,
\( A=[-\sqrt{100+a},\sqrt{100+a}] \)
que es un intervalo centrado en el origen. Para que sea \( A\cap B\ne \emptyset \) es necesario y suficiente que se verifique \( \sqrt{100+a}\ge 10 \) esto es, que \( a\ge 0 \).