Con el ejercicio que me propusiste quizás mejor:
\( \sqrt{3-4i}=x+yi\Leftrightarrow (x+yi)^2=3-4i\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi=3-4i \)
\( \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x^2-y^2=a\\& 2xy=b.\end{aligned}\end{matrix}\right.\qquad (1) \)
Resolvamos el sistema anterior. Sustituyendo \( y=-2/x \) en la primera ecuación
\( x^2-\dfrac{4}{x^2}=3,\;\;x^4-3x^2-4=0,\;\;x^2=\dfrac{3\pm\sqrt{25}}{2}=\{4,-1\} \)
Como \( x \) es real, \( x=\pm 2 \), y por tanto, \( y=\mp 1 \). Es decir, \( \sqrt{3-4i}=\pm(2-i) \)(¿Qué diferencia hay entre \( \pm \) y \( \mp \) en este contexto? ¿por qué \( x>0 \) y \( y<0 \)?¿porque \( y=-2/x \)?; ¿no podría haber sido \( -y=2/x \)?.
Esto, trasladado a la teoría:
\( \sqrt{3-4i}=x+yi\Leftrightarrow (x+yi)^2=3-4i\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi=3-4i \)
\( \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x^2-y^2=3\\& 2xy=-4\end{aligned}\end{matrix}\right.\qquad (1) \)
De la segunda ecuación de (1), \( xy=b/2=-4/2 \), y llamando \( r_1=x^2, \), \( r_2=-y^2 \), tenemos \( r_1r_2=-16/4 \). De la primera ecuación, \( r_1+r_2=3 \). Una ecuación de segundo grado cuyas raíces son \( r_1 \) y \( r_2 \) es \( (r-r_1)(r-r_2)=0 \), o bien
\( r^2-ar-\dfrac{b^2}{4}=0\Rightarrow{r^2-3r-\dfrac{16}{4}=0} \)
\( b\neq 0, \), entonces
\( r_1=x^2=\dfrac{3+ \sqrt{9+16}}{2}>0,\quad r_2=-y^2=\dfrac{3- \sqrt{9+16}}{2}<0. \)
En consecuencia se verifica \( \left|x\right|=\sqrt{\dfrac{3+ \sqrt{9+16}}{2}},\quad \left|y\right|=\sqrt{\dfrac{-3+ \sqrt{9+16}}{2}} \)
Usando la relación \( 2xy=-4 \) podemos deducir la elección de los signos para la elección de los signos para las soluciones de \( x \) e \( y \):
\( \displaystyle\sqrt{a+bi}=\pm \left(\sqrt{\dfrac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}-\sqrt{\dfrac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}i\right)\text{ si }b<0 \)
\( \displaystyle\sqrt{3-4i}=\pm \left(\sqrt{\dfrac{3+ \sqrt{9+16}}{2}}-\sqrt{\dfrac{-3+ \sqrt{9+16}}{2}}i\right)\text{ si }b<0 \)
Sé que te estoy preguntando otra vez quizás, pero, ¿por qué es positivo \( x \) y negativo \( y \). Sí, el producto tiene que ser negativo, pero, ¿por qué no \( x \) negativo e \( y \) positivo?
Yo creo que porque ya lo dice el desarrollo del ejercicio: \( r_2=-y^2=\dfrac{3- \sqrt{9+16}}{2}<0 \). ¿Es esta la explicación?.
Espero que mi exposición no haya sido engorrosa y pesada. Creo que iterativa desde luego ¡Un saludo!