Hola
Dada la parábola \( Y = 4-x^2 \) se considera el triangulo T(r) formado por los ejes de las coordenadas y la tangente a la parábola en el punto de abscisa \( X=r \) mayor de cero,.
Hallas \( r \) para que \( T(r) \) tenga área mínima.
Tengo el solucionario al problema y las respuestas, pero visualizo la situación
¿Me podéis ayudar?
Como siempre gracias de antemano.
Aquí tienes un dibujo:
La recta tangente en un punto \( (r,4-r^2) \) de la parábola es:
\( y-(4-r^2)=y'(r)(x-r) \)
donde \( y'(r)=(4-r^2)'=-2r \).
Los puntos de corte con los ejes son:
- Cuando \( x=0, \), \( y=4-r^2+2r^2=r^2-4 \).
- Cuando \( y=0 \), \( x=r+\dfrac{4-r^2}{2r} \)
La función área a minimzar:
\( T(r)=\dfrac{1}{2}(r^2-4)\left(r+\dfrac{4-r^2}{2r}\right)=\dfrac{1}{4}\dfrac{(4+r^2)^2}{r} \)
Su derivada es:
\( T'(r)=\dfrac{1}{4}\dfrac{4r^2(4+r^2)-(4+r^2)^2}{r^2}=\dfrac{1}{4}\dfrac{(4+r^2)(3r^2-4)}{r^2} \)
Se anula cuando:
\( (4+r^2)(3r^2-4)=0 \)
Y si \( r>0 \) se llega sólo a la solución \( r=\dfrac{2}{\sqrt{3}} \).
El área mínima es:
\( T(2/\sqrt{3})=\dfrac{32}{3\sqrt{3}} \)
Saludos.
P.D. Hay una errata
:
Como ya tienes la función área \( A(t) \) puedes calcular máximos y mínimos derivando. La solución es \( t=1.19 \) con área \( A(1.19)=6.16 \).
\( 2/\sqrt{3}\approx \color{red}1\color{black}.1547 \).
CORREGIDO (gracias ancape)
