Autor Tema: Demostración en estructura asociativa

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10 Abril, 2021, 04:34 am
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Soofíaa

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Sea F una estructura asociativa finita. Demuestre que F tiene un elemento idempotente (es decir, existe \( x \) tal que \( x^{2}=x \)).


Hola, alguna manito en esto? un saludo cordial

10 Abril, 2021, 08:38 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Sea F una estructura asociativa finita. Demuestre que F tiene un elemento idempotente (es decir, existe \( x \) tal que \( x^{2}=x \)).

Hola, alguna manito en esto? un saludo cordial

Si tomas potencias sucesivas de un elemento fijo \( x \) cualquiera:

\( \{x,x^2,x^{3},x^{4},\ldots\} \)

necesariamente por ser finito se tiene que repetir algún resultado, es decir, tienes \( x^n=x^m \), con \( n>m \).

1) Si \( n\geq 2m \):

\( x^n=x^m\quad \Rightarrow{}\quad x^nx^{n-2m}=x^mx^{n-2m}\quad \Rightarrow{}\quad x^{2(n-m)}=x^{n-m} \)

2) En otro caso nota que:

\( x^n=x^m\quad \Rightarrow{}\quad x^nx^{n-m}=x^mx^{n-m}\quad \Rightarrow{}\quad x^{2n-m}=x^{n}=x^m \)

 donde \( n'=2n-m>n \) es decir se tiene un exponente estrictamente mayor que \( n \) cumpliendo que \( x^{n'}=x^m \).

 Reiterando se puede llegar a un \( n'\geq 2m \) y volvemos al caso (1).

Saludos.

P.D. ¿Dónde se usa que la operación es asociativa?  ::). ¡Piénsalo!