Autor Tema: Demostración de unicidad de absorbente y neutro

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07 Abril, 2021, 01:25 am
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Soofíaa

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Sea \( E \) una estructura algebraica. Demuestre que:
a) Si \( E \) admite un neutro (\( ea = ae = a \); \( \forall a\in E \)) este es único.
b) Si \( E \) admite un absorbente (\( za = az = z \); \( \forall a\in E \)) este es único.
c) Caracterice el conjunto \( E \) si el neutro es igual al absorbente (que
también se llama anulador)

Hola, ¿me podrían ayudar a resolver esto? gracias de antemano, un saludo

Mensaje corregido desde la administración.

07 Abril, 2021, 09:40 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Sea \( E \) una estructura algebraica. Demuestre que:
a) Si \( E \) admite un neutro (\( ea = ae = a \); \( \forall a\in E \)) este es único.

Hay una forma típica de probar que un objeto cumpliendo una propiedad es único: suponer que hay dos con esa característica y concluir que son el mismo.

En este caso supongamos que hay dos neutros \( e,e' \). Verifican:

(1) \( ea=ae=a \) para todo \( a\in E \)
(2) \( e'a=ae'=a \) para todo \( a\in E \)

Aplicando (1) para \( a=e' \)  y (2) para \( a=e \) se tiene:

(1') \( ee'=e'e=e' \)
(2') \( e'e=ee'=e \)

Por (1') \( ee'=e' \) y por (2') \( ee'=e \). Por tanto \( e'=ee'=e \).

Citar
b) Si \( E \) admite un absorbente (\( za = az = z \); \( \forall a\in E \)) este es único.

Inténtalo. Es análogo al anterior.

Citar
c) Caracterice el conjunto \( E \) si el neutro es igual al absorbente (que
también se llama anulador)

Si \( e \) cumple la definición de neutro y de absorbente:

Neutro: \( ea=ae=a \) para todo \( a\in E \)
Absorbente: \( ea=ae=e \) para todo \( a\in E \)

¿Qué concluyes combinando ambas cosas?.

Saludos.