[zorropardo]

Definimos la diferencia de conjuntos por : $$A-B=\{  x : x \in A \mbox{ e }  x \not\in  B \}.$$

 Determine una condicion necesaria y suficiente para que $$A-(B-C)=(A-B)-C$$ 

[mg]

Si dibujas el diagrama de Ven de A,B y C te darás cuenta que tal condición es que $$A\cap{}C=\emptyset$$. Prueba a ver que te sale.

[zorropardo]

Hola, si hice el diagrama y me salio: $$ A-(B-C)=((A-B)-C)\cup{(A\cap{C})}.$$
Luego devemos probar: $$A \cap{C}= \emptyset   \Longleftrightarrow{   A-(B-C)=((A-B)-C)  }$$
$$\Longrightarrow $$

 Tenemos :   $$ A-(B-C)=((A-B)-C)\cup{(A\cap{C})} = ((A-B)-C) \cup {\emptyset}= ((A-B)-C)$$

La vuelta , si no se como hacerlo 

[Luis Fuentes]

Hola

 Ten en cuenta que:

\( X-Y=X\cap C^c \)

 Entonces:

\( A-(B-C)=A-(B\cap C^c)=A\cap (B\cap C^c)^c=A\cap (B^c\cup C)=(A\cap B^c)\cup (A\cap C) \)
\( (A-B)-C=(A\cap B^c)\cap C=A\cap B^c\cap C^c \)

 Si \( A\cap C=\emptyset \) entonces:

\( A-(B-C)=(A\cap B^c)\cup (A\cap C)=(A\cap B^c)\cup \emptyset=A\cap B^c=A\cap B^c\cap (C\cup C^c)=\\=
(A\cap B^c\cap C)\cup (A\cap B^c\cap C^c)=(A\cap C\cap B^c)\cup (A\cap B^c\cap C^c)=(\emptyset\cap B^c)\cup (A\cap B^c\cap C^c)=A\cap B^c\cap C^c=(A-B)-C \).

 Recíprocamente si \( A-(B-C)=(A-B)-C \) supongamos que \( A\cap C\neq\emptyset  \). Entonces existe \( x\in A\cap C\subset A-(B-C)=(A-B)-C \). Pero entonces \( x\in A\cap C\subset C \) y tambien \( x\in (A-B)-C=A\cap B^c\cap C^c\subset C^c \): contradicción.

Saludos.

[zorropardo]

Muy agardecido.